Систему уравнений (2.6) и (2.7) решим графически в выбранном масштабе

на плане скоростей (рис. 2.3, б). Откладываем от полюса р_v параллель­но вектору скорости точки В отрезок р_vc₄ = (мм) и через конец этого отрезка проводим прямую, являющуюся линией действия вектора v_СB. Эта прямая пер­пендикулярна к линии ВС.

Далее из полюса р₀ плана скоростей параллельно вектору Vc₄ (рис. 2.3, а) откладываем отрезок (мм). Через конец этого отрезка (точку C₄) проводим прямую, параллельную нап­равляющей поступательной пары D, являющейся линией действия вектора относительной поступательной скорости .Так как

векторные суммы определяются точкой пересечения ли­ний действия относительных скоростей. Точку пересечения этих линий обозна­чим С, абсолютная скорость точки С определится из условия

. Из плана скоростей получим также величины и направления векторов от­носительных скоростей: вращательной Vcb — отрезок bc и поступательной — отрезок с₄с. Угловая скорость второго звена

, (2.8)

а направление ее определится мыслен­ным переносом вектора относительной скорости Vcb — отрезка bc плана ско­ростей в точку С на плане положения группы.

Пользуясь планом скоростей, можно найти скорость любой точки на звене. Скорость точки S на втором звене опре­делится из условия представления слож­ного движения звена 2 как поступа­тельного со скоростью V_B и вращательного вокруг точки В, а также как поступательного со скоростью Vc и вра­щательного вокруг точки С:

. (2.9)

Решая эту систему графически, опре­деляют точку s — конец вектора .

Из построения следует, что треуголь­ник csb на плане скоростей подобен тре­угольнику CSB на плане положений группы и повернут относительно него на 90°. Правильность построения опреде­ляется одинаковым порядком букв при обходе контура звена и контура относи­тельных скоростей на плане скоростей в одном и том же направлении.

План ускорений. Исходными данными для построения плана ускорений явля­ются план положения группы, план скоростей (рис. 2.3, а, б) и ускорения звеньев, примыкающих к данной груп­пе. При построении плана ускорений полностью применимы рассуждения, ис­пользованные при решении задачи об отыскании скоростей звеньев. Ускоре­ние точки В₂ известно, так как она сов­падает с точкой В₁

т. е. , угловое ускорение звена 3 известно, так как оно образует со звеном 4 поступательную пару, т. е. ε₃ = ε₄.

Для нахождения ускорения любой точки звеньев 2 и 3 дополнительно надо знать ускорение хотя бы одной точки на каждом из этих звеньев. В качестве такой точки следует использовать центр шарнира С, являющийся общей точ­кой для звеньев 2 и 3. Рассматривая вращательное движение звена 2 вокруг точки В и поступательное — звена 3 относительно звена 4, записываем сле­дующие векторные уравнения:

(2.10)

Систему уравнений решим гра­фически. На чертеже (рис. 2.3, б) обоз­начим полюс плана ускорений р_a и выберем масштаб построения плана .

Откладываем от полюса р_а параллельно вектору ускоре­ния ав отрезок

p_ab = (мм). Нор­мальное ускорение точки С в относительном движении направлено от точ­ки С вдоль звена 2 к точке В; величину его, исходя из построенного плана ско­ростей, определим по фор­муле

. (2.11)

Из точки b плана ускорений проводим линию действия ускорения в направ­лении от точки С к точке В и откла­дываем отрезок bп = .

Из точки п перпендикулярно к отрез­ку bп проводим линию действия танген­циального ускорения .Далее из полюса р_а проводим линию параллель­но известному направлению ускорения , () и откладываем отрезок . Ускорение Кориолиса (поворотное ус­корение)

откладываем на плане ускорения в виде отрезка c₄k = (мм). Направление указанного отрезка определяется пу­тем поворота вектора относительной скорости с₄с на 90° в сторону вращения среды поворота — звена 4. Из точки k проводим линию действия ускорения a'cc₄, параллельную направляющей пос­тупательной пары, т. е. перпендикуляр­но к вектору ускорений .

Пересечение линий действия и , определит положение точки с.

Из плана ускорения получим также величины и направления векторов отно­сительных ускорений (м/с²) и (м/с²).

Угловое ускорение звена 2 определит­ся по формуле

(2.13)

Направление ε₂ устанавливается пу­тем мысленного переноса вектора пс в точку С и определения направления вращения звена 2 вокруг точки В под влиянием этого вектора.

Пользуясь планом ускорений, можно найти ускорение любой точки на звене 2 и 3. Например, требуется определить ускорение точки S на звене 2. На осно­вании известного положения о подобии фигур звена и плана относительных ус­корений строим на отрезке bc плана ускорений треугольник csb, подобный треугольнику CSB на звене 2, соблю­дая при этом одинаковую последова­тельность расположения букв при об­ходе контуров этих треугольников в одном направлении. Соединяя полу­ченную в результате построения точку s с полюсом р_а, получаем отрезок p_as, определяющий в масштабе ускорение точки S: .

Метод кинематических диаграмм.В тех случаях, когда необходимо устано­вить законы изменения скоростей и ус­корений за определенный промежуток времени движения звена, применяют метод кинематических диаграмм, ко­торый базируется на графическом диф­ференцировании и интегрировании.

Используя график движения ведомого звена по времени s = s(t) или , определяют скорость как первую производную пути по времени: , или

. Производные пропорциональны тангенсу угла наклона касательной в точках кривой графика перемещений.

При выполнении графического диф­ференцирования можно оперировать не только касательными, но и хордами, проводить которые удобнее (рис. 2.4). Тогда значение средней скорости на элементарном участке пути может быть выражено в виде , (2.14)

где Δs и Δt — элементарные перемеще­ние и время; а — угол, образованный хордой и осью абсцисс графика s = s (t). На участках графика (рис. 2.4, а), соответствующих делениям по оси абс­цисс, заменяем кривую отрезками пря­мой. Приняв полученную ломаную ли­нию за график пути, строим соответст­вующий ему график скорости. Для это­го слева от начала координат на рас­стоянии отметим точку , именуемую полюсом. Из полюса проводим лучи, параллельные хордам, которые на оси ординат отсекут отрезки 01'; 02¹ и т. д. Полученные отрезки пропорциональны тангенсам соответствующих углов а, для пятого участка, например, . Он представляет собой сред­нюю скорость движения ведомого звена в пределах рассматриваемого участка в масштабе

(2.15)

Для построения графика скорости v = v (t) следует полученные отрезки от­ложить параллельно оси ординат ново­го графика в серединах со­ответствующих участков и соединить полученные точки плавной кривой.

Построение графика ускорений по известному графику скорости следует проводить в таком же порядке, как и описанное выше построение гра­фика скорости по известному графику пути. В общем случае при дифференци­ровании графика v = v(t) получают только тангенциальную составляющую ускорения, так как . Для слу­чая прямолинейного движения танген­циальная составляющая равна полному ускорению.

Рис.. Кинематические диаграммы

Обозначив через Н_а полюсное рас­стояние, можно по аналогии с опреде­лением масштаба графика скорости получить масштаб графика ускорения

(2.16)

График перемещений по известному гра­фику скорости или график скорости при заданном графике ускорения можно построить с помощью графического ин­тегрирования. При интегрировании построение производят в порядке, об­ратном тому, какой принят при диффе­ренцировании. На отдельных участках графика

v = v (t) прини­мается постоянная средняя скорость (штриховые линии). Величины отрез­ков, определяющих скорости, сносятся на ось ординат. Точ ки на оси ординат (например /', 2' и т. д.) лучами соеди­няются с полюсом , выбранным по оси абсцисс на расстоянии Н_v от начала координат. Затем в пределах соответ­ствующих делений по оси абсцисс гра­фика s = s (t) (рис. 2.5, б) последова­тельно проводят линии, параллельные лучам, исходящим из точки л. Оче­видно, что масштаб перемещений интег­рального графика .

Графическое интегрирование:

а – график скорости;

б – график перемещений

Аналитический метод. Этот метод поз­воляет определять скорости и ускоре­ния с более высокой точностью. Обычно применяют метод последовательного

дифференцирования функции перемеще­ния точки, скорость и ускорение которой необходимо определить. Функцию пе­ремещения s = s (t) или s = s (φ) можно получить из геометрических соображе­ний, как, например, это сделано для кривошипно-ползунного механизма — формула (2.5), а ее скорость и ускоре­ние — путем дифференцирования урав­нений (2.3).

Дифференцируя уравнения (2.3) по обобщенной координате φ₁ (углу пово­рота ведущего звена), получают не истинную угловую скорость, а безраз­мерную величину , получившую название аналога угловой скорости. Связь между аналогом скорости и дейст­вительной угловой скоростью i -ro зве­на определится из соотношения

, т. е. угловая скорость i -го звена равна произведению угловой скорости ведущего звена на аналог скорости. Продифференцировав уравнения (2.3) и подставив значение аналога скорости, получаем уравнения для определения угловой скорости шатуна (рис. 2.2) и относительной скорости звена 3 —

(2.17)

Определим значение из второго урав­нения (2.17)