Эквивалентные потоки платежа

Одной из важнейших практических задач финансовой математики является замена заданного множества платежей на эквивалентное. В общем случае:

Два множества выплат называются эквивалентными при фиксированной ставке процентов, если эквивалентные по этой ставке значения в произвольный момент t для этих множеств совпадают.

Например, если приведение платежей осуществляется на начальную дату, то при использовании простых процентов получим следующее уравнение эквивалентности:

              .                                     (3.36)

При использовании сложных процентов:

              ,                                              (3.37) 

где R_i и n_i – платежи и сроки заменяемых платежей, R_k и n_k – эти же параметры заменяющих платежей, – дисконтный множитель.

В качестве примера рассмотрим два множества платежей: и , изображенные на диаграмме (рис. 3.6).

 

 

 

Уравнение эквивалентности для момента времени 2 будет иметь вид:

.

ПРИМЕР 3.17

Заменить следующий поток платежей: 200 тыс. руб. через один год,
175 тыс. руб. – через два года, 210 тыс. руб. – через 4 года, эквивалентным множеством, состоящим из двух выплат, равных по величине: первая – через 1.5 года, вторая – через 3 года. Проценты начисляются по ставке 8 % годовых каждые 6 месяцев.

РЕШЕНИЕ. Временная диаграмма выплат изображена на рис. 3.7.

 

Эффективная ставка за полгода равна 4 %. Составим уравнение эквивалентности для настоящего момента времени. Оно имеет следующий вид:

.

Отсюда найдем величину выплат R:

тыс. руб.

ПРИМЕР 3.18

Согласно контракту необходимо уплатить 100 тыс. руб. через 5 лет. Стороны договорились изменить условия погашения долга следующим образом: через 2 года выплачивается 30 тыс. руб., а оставшийся долг – спустя четыре года после первой выплаты. Найти суму последнего платежа, если i =10 %.

РЕШЕНИЕ. Временная диаграмма изображена на рис. 3.8.

Уравнение эквивалентности можно составить на любой момент времени. Запишем его, например, для начального момента времени:

;

тыс. руб.,

где .

Для другой даты, например конец шестого года, уравнение примет вид:

30(1+i)⁴+R=100(1+i),

откуда R=100(1+i)-30(1+i)⁴=133,233 тыс. руб.

Задания для контрольной работы

 

1. Клиент поместил в банк вклад в сумме 4,5 тыс. руб. под 8 % годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый квартал? Как изменится сумма при выплате простых процентов каждый месяц?

2. Банк принимает депозиты на 3 месяца по процентной ставке 8 % годовых, на 6 месяцев – по 10 % годовых и на год – по 12 % годовых. Определить сумму, которую получит владелец депозита в размере 20 тыс. руб. при начислении простых процентов во всех трех случаях.

3. На какой срок в днях необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 10 % годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза?

4. ООО «Виста» получило в банке кредит в сумме 500 тыс. руб. под 6 % простых годовых с 1 января до 1 июля текущего года. Какую сумму получит банк по истечении срока?

5. АО «Водоканал» заключило с АО «Трансмаш» контракт на 100 млн руб. сроком на 1,5 года при начислении простых процентов следующим образом: за первые полгода – 10 % годовых, а каждые последующие полгода ставка повышается на 0,5 %. Определить сумму, которую должно вернуть АО «Водоканал» по истечении срока действия контракта.

6. На счете в банке 50 тыс. руб. Банк в течение месяца начисляет простые проценты по ставке 6 % годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение первого квартала текущего года?

7. Коммерческая фирма получила в банке ссуду на 2 года на следующих условиях: за первые полгода начисляются 16 % простых годовых, за вторые полгода – 18% простых годовых, а за оставшийся год – 23 % простых годовых. Известно, что фирма вернула банку 700 тыс. руб. определить размер ссуды.

8. Предпринимателю через некоторое время понадобится сумма в 25 тыс. руб., между тем он располагает лишь 22 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы предприниматель собирается положить в банк 22 тыс. руб. Предлагаемая банком процентная ставка равна 12 % годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы, если банк начисляет простые проценты?

9. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 14 % годовых, чтобы начисленные проценты были в 1,4 раза больше первоначальной суммы?

10. Контрактом было предусмотрено, что после первого квартала годовая процентная ставка повысится на 3 %; после второго – еще на 5 % и после третьего квартала – еще на 7 %. Множитель наращения за год оказался равным 1,125. Определить величину первоначальной годовой процентной ставки, если в течение года начислялись простые проценты.

11. Вексель с суммой погашения 60 000 руб. 15 августа продан за 59 000 руб. 16 июня. Какая учетная ставка была использована? Какую процентную савку реализовал покупатель в результате сделки?

12. При получении товара торговец подписал вексель, обязуясь заплатить 240 млн руб. и получил вексель с обязательством заплатить эту сумму плюс 7 % простых процентов через 90 дней. Вексель был продан немедленно банку, который начисляет 6 % банковского дисконта. Сколько заплатил банк за вексель? Какова прибыль инвестора? Какую процентную ставку реализует банк при погашении векселя?

13. Банк заплатил 44 000 руб. за вексель с суммой погашения 45 000 руб. через четыре месяца. Каковы учетная и процентные ставки?

14. В векселе содержится обязательство выплатить 600 000 руб. и обыкновенный простой процент по ставке 5,5 % через 60 дней. Он был дисконтирован по учетной ставке 6 % годовых за 20 дней до погашения. Найти сумму погашения векселя и выручку то продажи.

15. Вексель выписан 1 апреля 2004 г. Через 150 дней после указанной даты заплачено 275 000 руб. по простой ставке процента 6 % годовых (проценты обыкновенные). Найти сумму погашения и дату погашения, если вексель продан 31 мая 2004 года по учетной ставке 5 % годовых. Найти выручку.

16. Просьба ссудить 50 000 руб. на четыре месяца поступила в банк, который начисляет 8 % годовых. Определить дисконт. Чему равна выручка ссуды?

17. Иванов обязался 1 июня 2005 г. выплатить Петрову 10 000 руб. через 60 дней после указанной даты. 1 июня, когда Иванов подписал вексель, он получил 9 500 руб. Какую процентную ставку обыкновенного простого процента установил Петров? Какая учетная ставка дала бы такой же результат?

18. Для того чтобы получить выручку 80 000 руб., сколько нужно попросить в банке для восьмимесячной ссуды, если банк начисляет 7 % годовых по учетной ставке.

19. Смирнов намеревается получить ссуду в сберегательном банке на 120 дней. Если банк начисляет 7 % простых годовых, какую сумму должен просить Иванов, чтобы получить на руки 100 000 руб.?

20. Вексель на 10 175 руб., погашаемый через 90 дней, продан банку, который применяет 7 % годовых простой учетной ставки. Какой будет выручка?

21. Появилась возможность получить кредит либо на условиях 12 % годовых с квартальным начислением процентов, либо 12,4 % годовых с годовым начислением. Какой вариант предпочтительней, если выплата процентов будет сделана единовременно с погашением кредита?

22. Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении 15 % сложных годовых?

23. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 300 тыс. руб. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22 % годовых, на следующие три года устанавливается маржа в размере 0,5 % и на последующие годы маржа равна 0,8 %. Найдите сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды при начислении сложных процентов.

24. На вклад в конце каждого полугодия начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10 %. За какой срок первоначальный капитал увеличится в четыре раза? Как изменится результат, если сложные проценты начисляются ежемесячно?

25. Вы имеете 50 тыс. руб. и хотели бы удвоить эту сумму через пять лет. Каково значение сложной процентной ставки?

26. За какой срок исходная сумма 20 тыс. руб. возрастет до 60 тыс. руб., если сложные проценты по процентной ставке 16 % годовых начисляются ежемесячно?

27. Какие условия предоставления кредита более выгодны банку: 8 % годовых при ежеквартальном начислении или 5 % полугодовых?

28. Банк начисляет на вложенные в него 400 тыс. руб. сложные проценты по ставке в 2000 г. – 16 % годовых, в 2001 г. – 15 % годовых, в 2002 и 2003 гг. – 14 % годовых. Какая сумма будет на счету 31 декабря 2003 г., если деньги были положены 1 января 2000 г?

29. В долг на 3 года и 6 месяцев предоставлена сумма 80 тыс. руб. с условием возврата 200 тыс. руб. Найдите эффективную процентную ставку в этой финансовой сделке.

30. Вкладчик хотел бы за 4 года удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов ежеквартально?

31. Предприятие продало товар, получив вексель номинальной стоимостью $2000 сроком 80 дней и процентной ставкой 15 % (проценты не входят в номинальную стоимость). Через 75 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть его в банке по ставке 16 %. Рассчитайте суммы, получаемые банком и предприятием.

32. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 2 млн. руб. со сроком погашения 28.09.2002 г. Вексель предъявлен 13.09.2002 г. Банк согласился учесть вексель по ставке 12 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель?

33. Вы имеете возможность учесть вексель либо по сложной учетной ставке 14 % годовых с поквартальным дисконтированием, либо по сложной учетной ставке 14,5 % годовых с помесячным дисконтированием. Какой вариант предпочтительнее?

34. Долговое обязательство, равное 15 тыс. руб., со сроком погашения через 3 года было сразу же учтено в банке, и владелец обязательства получил 100 тыс. руб. Найдите эффективную годовую учетную ставку в этой сделке.

35. За учетный вексель была выплачена половина от написанной на векселе суммы. За какое время до срока погашения был учтен вексель при дисконтировании по простой и по сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна 10 %?

36. Какие условия учета при дисконтировании по сложной учетной ставке более выгодны банку: 16 % годовых, полугодовое дисконтирование, или 16,5 % годовых, поквартальное дисконтирование?

37. На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы при его учете за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 14 % годовых можно было получить 18 тыс. руб., если дисконтирование производится помесячно? Чему равен дисконт?

38. Определить текущую стоимость денег, будущая величина которых через 10 лет оценивается в 2 000 ден. ед., если ставка дисконтирования составляет 3 % годовых.

39. Банк выдает кредит сроком на 1 квартал под 6 % за квартал, удержав проценты при выдаче кредита. Определите доходность такой финансовой сделки для банка в виде годовой эффективной процентной ставки.

40. Долговое обязательство на сумму 160 тыс. руб. было учтено за 170 дней до срока погашения, и владелец обязательства получил 140 тыс. руб. Определите доходность этой операции в виде эффективной учетной ставки.

41. Кредит в размере 180 тыс. руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления непрерывных процентов. Чему равна погашаемая сумма, если непрерывная ставка процентов по кредиту составляет 6 % за год?

42. Вкладчик хотел бы за 6 лет увеличить в 2,5 раза сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть сила роста, если банк начисляет непрерывные проценты? Какова должна быть сила роста, чтобы обеспечить увеличение помещаемой суммы в 4 раза?

43. Предоставлена ссуда на 5 лет под непрерывную ставку. Определить величину этой ставки, если доходность сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составила 8 %. Зависит ли величина искомой непрерывной ставки от срока ссуды?

44. Предприниматель может получить ссуду либо на условиях ежеквартального начисления процентов по ставке 8 % годовых, либо на условиях непрерывного начисления процентов по ставке 6 % за год. Какой вариант предпочтительнее для предпринимателя?

45. Под какую непрерывную ставку можно поместить деньги на депозит, если 10 тыс. руб. сейчас эквивалентны 30 тыс. руб. через 4 года? Какая сложная процентная ставка с начислением процентов по полугодиям решает эту задачу?

46. Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении непрерывных процентов, если сила роста равна: а) 5 %; б) 25 %; в) 50 %; 100 %.

47. Определите современную стоимость 60 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 2 года 6 месяцев; б) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под непрерывную процентную ставку 7 %.

48. Оцените, что лучше: получить 20 тыс. руб. через 3 года или 68 тыс. руб. через 7,5 лет, если можно поместить деньги на депозит под непрерывную ставку 6% за год?

49. Некоторый капитал помещен в банк под непрерывную ставку 6 %. Через 2 года и 3 месяца счет был закрыт и получена сумма 189,755 тыс. руб. Определите величину наращенной суммы, которая была получена через полтора года.

50. Банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 7 %. Определить современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма была помещена на депозит в банке 3 года 4 месяца назад; б) эта сумма будет помещена на депозит в банке через 2 года 9 месяцев.

51. 1 000 долл. поместили на рублевый депозит. Курс продажи на начало срока депозита 26,08 руб. за доллар, курс покупки доллара в конце операции 26,45 руб. Процентная ставка для рублевых сумм составляет 12 % годовых, для долларовых – 6 %. Срок депозита – 3 месяца. Найти сумму наращения исходной долларовой суммы.

52. Доллары приобретены 1 августа 2007 г. по курсу 24,34 руб. Минимальный и максимальный курсы покупки банками долларов 6 ноября 2007 г. 24,76 руб. и 24,95 руб. за доллар. Какова эффективность вложения рублей в доллары?

53. Петров 1 июля 2004 г. поместил 80 000 руб. на трехмесячный депозит под 10 % простых годовых. На сколько бы больше он получил, если бы он на все деньги приобрел доллары, а 1 декабря обменял бы их на рубли, если банк продавал 1 июля по курсу 24,21 руб., а 1 декабря покупал – по курсу 24,92 руб.?

54. Банк 12 марта 2007 г. установил следующую котировку доллара к рублю: покупка – 23,95 руб., продажа – 24,15 руб. Сколько рублей получено при обмене 150 долл. и какое количество долларов можно приобрести на 3500 руб.?

55. Необходимо поместить на валютном депозите 1 млн. руб. Курс продажи на начало срока депозита 26,08 руб. за доллар, курс покупки доллара в конце операции 26,45 руб. Процентная ставка для рублевых сумм составляет
12 % годовых, для долларовых – 6 %. Срок депозита – 3 месяца. Найти наращенную сумму в рублях к концу срока. Каково наращение при прямом инвестировании в рублевый депозит?

56. Необходимо поместить 10000 долл. на рублевый депозит. Курс продажи на начало срока депозита 25,81 руб. за доллар, курс покупки доллара в конце операции 26,04 руб. Процентная ставка для рублевых сумм составляет
9 % годовых, для долларовых – 6,5 %. Срок депозита – 4 месяца. Найти сумму наращения исходной долларовой суммы.

57. Сидоров 15 июля 2006 г. поместил 90 000 руб. на полугодовой депозит под 8% годовых. На сколько бы больше он получил, если бы он на все деньги приобрел доллары, а 1 ноября обменял бы их на рубли, если банк продавал 15 июля по курсу 24,36 руб., а 1 ноября покупал – по курсу 24,74 руб.?

58. Банк 12 апреля 2008 г. установил следующую котировку доллара к рублю: покупка – 23,98 руб., продажа – 24,11 руб. Сколько рублей получено при обмене 450 долл. и какое количество долларов можно приобрести на 7500 руб.?

59. На валютный депозит поместили 10 млн руб. Курс продажи на начало срока депозита 26,10 руб. за доллар, курс покупки доллара в конце операции 26,25 руб. Процентная ставка для рублевых сумм составляет 11,5 % годовых, для долларовых – 5,5 %. Срок депозита – 9 месяцев. Найти наращенную сумму в рублях к концу срока. Каково наращение при прямом инвестировании в рублевый депозит?

60. Доллары приобретены 10 июня 2007 г. по курсу 24,38 руб. Минимальный и максимальный курсы покупки банками долларов 2 ноября 2007 г. 24,46 руб. и 24,55 руб. за доллар. Какова эффективность вложения рублей в доллары?

61. В течение года каждый квартал цены росли соответственно на 10, 15, 8 и 12 %. Определить индекс и темп инфляции за год и в среднем за месяц.

62. Клиент банка поместил деньги на депозит под простую процентную ставку и через год получил с учетом уплаты налога на проценты 860 руб. Какая сумма была помещена на депозит, если индекс роста ее за это время без учета уплаты налога на проценты составил 1,19 и ставка налога на проценты равна
6 %?

63. В стране годовой индекс инфляции составил 90 %. Определите среднемесячный и средний ежедневный темпы инфляции. За какое время деньги потеряли половину своей покупательной способности?

64. В результате использования простой процентной ставки индекс роста вклада за год составил 1,15. На сколько процентов за это время увеличился вклад с учетом уплаты налога на проценты, если савка налога на проценты равна 6 %?

65. Доход от финансовой операции, проведенной в течение полугода, составил 30 тыс. руб., причем было вложено в операцию 120 тыс. руб. Среднемесячный темп инфляции в это время составил 1 %. Определить реальную норму прибыли финансовой операции с учетом инфляции.

66. Положив в банк 500 тыс. руб. под простую процентную ставку 12 % годовых, предприниматель через 9 месяцев получил с учетом уплаты налога на проценты 520 тыс. руб. определить ставку налога на проценты.

67. В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый депозит под 500 % годовых или на долларовый депозит под 35 % годовых. Инфляция тогда составляла примерно 900 %. Выяснить, какой из депозитов был предпочтительнее, если курс продажи долларов в начале года был 450 руб., а в конце – 1 250 руб. за доллар.

68. Вкладчик, владея 180 тыс. руб., хочет получить, положив деньги на депозит, через полгода не менее 200 тыс. руб. Определить простую годовую процентную ставку, если ставка налога на проценты равна 8 %.

69. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 50 тыс. руб. на 9 месяцев. При ожидаемом среднемесячном темпе инфляции 3 % банк хочет обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 20 % годовых. Какая простая процентная ставка по кредиту должна быть установлена? Какова будет величина погашаемой суммы?

70. На депозит была помещена сумма в размере 60 тыс. руб. на полтора года, по истечении которых на сумму были начислены простые проценты по годовой учетной ставке 8 %. Определить наращенную сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 6 %.

71. Для номинальной ставки 12 % с начислением процентов два раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно.

72. Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 12 % годовых при ежемесячном начислении процентов.

73. Контракт предусматривает начисление по ссуде простых процентов по ставке 11 % годовых, срок ссуды два года. Определите эквивалентную этим условиям ставку сложных процентов при полугодовом начислении процентов.

74. Кредит на два года предоставляется под сложную годовую ставку
12 %, начисление ежеквартальное. Определить эквивалентную годовую простую учетную ставку.

75. Банк выдает ссуду на 10 лет или под 7 % сложных годовых или под простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

76. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты четыре раза в год по ставке 10 % и собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?

77. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учетной ставке 14 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?

78. Оплата по долгосрочному контракту предполагает выбор одного из двух вариантов: 25 млн. руб. через 6 лет или 50 млн руб. через 12 лет. При какой сложной процентной ставке выбор безразличен?

79. Вексель учтен банком за 100 дней до даты его погашения по простой учетной ставке 10 % годовых. Какова доходность учетной операции в виде простой годовой ставки (проценты обыкновенные)?

80. Какую ставку сложных процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился и если он выдает ссуду на 5 лет или под 7 % простых годовых или под сложные проценты?

81. Найти эквивалентное через 2 года значение для долга, равного сегодня 4,2 млн. руб., при ежеквартальном начислении, равном 3 %.

82. Имеются два обязательства: уплатить сумму 50 000 ден. ед. 1 октября и 60 000 ден. ед. 1 декабря. Данные обязательства заменяются новыми условиями: первый взнос 70 000 ден. ед. должник уплачивает 1 ноября, а остальной долг – 1 декабря. Определить сумму нового платежа 1 декабря, если используется простая ставка 6 % годовых (проценты точные).

83. Используя простые проценты, объединить три платежа со сроками 15 мая, 15 июня и 15 августа. Сумма платежей соответственно 100, 200 и 150 ден. ед. Согласованная процентная ставка – 8 % (точные проценты), срок нового платежа – 1 августа. Определить сумму нового платежа.

84. Два платежа с суммами 250 000 ден. ед. и 150 000 ден. ед. со сроками соответственно 100 дней и 200 дней (отсчитываемых от одной даты) заменяются одним платежом со сроком 220 дней. Согласованная простая процентная ставка – 6 % годовых (проценты обычные). Определить сумму нового платежа.

85. Гаврилов должен выплатить Серову 20 000 руб. в следующие сроки:
5 000 через 2 года, 5 000 руб. через 3 года и еще 10 000 руб. через 5 лет, считая от настоящего момента. Гаврилов предложил изменить контракт, обязавшись уплатить 10 000 руб. через 3 года и еще 10 000 руб. через 4 года от настоящего момента. Эквивалентны ли эти контракты, если на деньги начисляют 5 % простых годовых. Если контракты не эквивалентны, то какой из них выгоднее для Серова?

86. Иванов приобрел в кредит мебель, обязавшись выплачивать за нее по 20 000 руб. каждый квартал в течение трех лет. Через год, сделав четыре платежа, Иванов пожелал сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить, если на деньги начисляются 8 % простых годовых?

87. Сидоров приобрел в кредит мебель, обязавшись выплачивать за нее по 20 000 руб. каждый квартал в течение трех лет. Но он пожелал сразу изменить первоначальный контракт и выплачивать свой долг равными ежегодными уплатами. Какова должна быть каждая из этих уплат, чтобы новый контракт был эквивалентен первоначальному и если на деньги начисляются 8 % простых годовых?

88.  Сравниваются два платежа: 300 ден. ед. с выплатой через год и 400 ден. ед. с выплатой через полтора года. Определить критический размер сложной процентной ставки, при которой эти платежи будут эквивалентны.

89. Сумма в размере 2 000 ден. ед. должна быть выплачена через 30 дней. Стороны договорились об отсрочки долга и выплате 2 200 ден. ед. Определить, в какой срок должна состоятся выплата, если используется простая годовая ставка в размере 10 % (обыкновенные проценты).

90. Покупатель обязался выплатить фермеру за купленное у него зерно 350 000 руб. через 2 месяца после покупки, 300 000 руб. – еще через 2 месяца и 520 000 руб. – еще через 3 месяца. Стороны договорились, что покупатель выплатит весь долг одним платежом, равным 12 000 000 руб. В какой срок, считая с момента покупки, он должен это сделать?

91. Предприниматель купил у поставщиков сырье, заключив контракт, согласно которому предприниматель должен уплатить поставщику 50 тыс. руб. 3 месяца, 25 тыс. руб. – через 9 месяцев и 35 тыс. руб. – через 1 год 6 месяцев с момента покупки. Поставщику необходимы деньги, поэтому он хочет продать контракт финансовой компании. Компания купит контракт при условии начисления на свои деньги ежемесячно 15 % годовых. Какую сумму получит предприниматель от финансовой компании, если он продаст контракт через 2 месяца после его заключения?

92. Платежи 100, 400, 200 и 350 тыс. руб. со сроками выплат соответственно через 1 год 6 месяцев, 3 года 6 месяцев, 4 и 5 лет заменяются одним платежом 700 тыс. руб. Определить срок консолидированного платежа, если процентная ставка составляет 14 % годовых.

93. Фермер взял в банке кредит на сумму 5 млн. руб. под 8 % годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 млн руб., а еще через год взял кредит в сумме 2 млн руб. Через 2 года после этого фермер вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?

94. Г-н Сидоров положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке 5 % (сложных), сумму 12 000 руб. Через 1 год и 6 месяцев он снял со счета 4500 руб., а еще через 2 года положил на свой счет 2 000 руб. После этого через 3 года 6 месяцев он закрыл счет. Какую сумму он получил?

95. Г-н Иванов положил 3 года назад 5 000 руб. в банк, выплачивающий каждое полугодие 8% годовых. Год назад он положил еще 2 000 руб., а через 3 года 6 месяцев после этого снял со счета 3 500 руб. Еще через 6 месяцев он желает положить на свой счет такую сумму, чтобы еще через год на счету было
10 000 руб. Какую сумму он должен положить на свой счет в последний раз?

96. Фермер приобрел трактор, который стоит 2 500 000 руб., в кредит под 12 % годовых (сложных). Через 1 год 6 месяцев он уплатил 1 500 000 руб., а еще через 6 месяцев полностью погасил долг. Какую сумму он при этом выплатил?

97. Предприниматель взял в банке кредит в 12 млн руб. под 15 % годовых (сложных). Через 6 месяцев он вернул банку 4 500 000 руб., а еще через 6 месяцев – 2 500 000 руб. Спустя 6 месяцев после этого он взял еще ссуду в 3 млн руб. и через 2 года с момента получения этой ссуды полностью погасил долг. Какую сумму составляет последняя уплата?

98. Строительный комбинат продает коттеджи стоимостью 8 млн руб., предоставляя покупателям кредит под 12 % годовых (сложных). Господин Иванов приобрел коттедж. Он выплатил 2 млн. руб. через 3 месяца после покупки, 3 млн руб. – еще через 6 месяцев, 1 млн руб. – в конце первого года с момента покупки и погасил весь долг через 1,5 года с момента покупки. Какую сумму составил последний платеж?

99. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий ежеквартально 10 % годовых, чтобы иметь возможность снять со счета 20 000 руб. через 1 год 6 месяцев и еще 30 000 через 1 год 6 месяцев после этого?

100. Г-н Васильев купил у г-на Дмитриева автомобиль, подписав контракт, в соответствии с которым обязался уплатить 1 500 000 руб. через 8 месяцев после момента покупки и 2 млн руб. через 18 месяцев после момента покупки. Г-н Дмитриев желает продать этот контракт банку, получающему 6 % сложных годовых на свои деньги. Какую сумму заплатит банк за этот контракт, если купит его в момент заключения?

Правила выполнения

 и оформления контрольной работы

 

По курсу «Финансовая математика» предусмотрена контрольная работа, при выполнении которой требуется придерживаться указанных ниже правил.

Контрольная работа включает в себя выполнение пяти заданий из
№ 1-100. Номер задания и учебный шифр студента (номер зачетной книжки) должны оканчиваться на одну и ту же цифру.

Контрольная работа выполняется в тонкой тетради. Решения задач следует располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач выписывать обязательно. На обложке тетради должны быть указаны фамилия, имя, отчество студента, его учебный шифр, специальность, домашний адрес, а также наименование дисциплины и номер контрольной работы.

Приступая к выполнению контрольной работы, сначала следует изучить теоретический материал и ознакомиться с решением типовых задач, приведенных в настоящих методических указаниях. Решения задач должны быть оформлены аккуратно, с подробными пояснениями и с указанием используемых формул. В конце работы приводиться список используемой литературы.

В результате проверки преподаватель делает одно из двух заключений относительно выполненной работы: «допущен к защите» и «не допущен к защите». Студент обязан исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и сдать работу на повторную проверку.

 

 

 

 

 

Библиографический список

 

1. Бочаров П. П. Финансовая математика / П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов. – М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 576 с.

2. Задачи финансового менеджмента: учеб. пособие для вузов / под ред. Л. А. Муравья, В. А. Яковлева. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 2000. – 248 с.

3. Ковалев В. В. Введение в финансовый менеджмент. / В. В. Ковалев. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 768 с.

4. Красс М. С. Математика для экономистов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2004. – 464с.

5. Кричинский К. В. Математика финансового менеджмента / К. В. Кричинский. – М.: Дело и Сервис, 2006. – 256 с.

6. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика: учеб. пособие / Б. Т. Кузнецов. – М.: Экзамен, 2005. – 128 с.

7. Кузнецов Б. Т. Математические методы финансового анализа: учеб. пособие / Б. Т. Кузнецов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 159 с.

8. Малыхин В. И. Финансовая математика: учеб. пособие для вузов / В.И. Малыхин. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 247 с.

9. Мицкевич А. Финансовая математика / А. Мицкевич. – М.: ОЛМА-ПРЕСС Инвест, 2003. – 128 с.

10. Самаров К. Л. Финансовая математика. Практический курс: учеб. пособие / К. Л. Самаров. – М.: Альфа-М, 2005. – 80 с.

11. Сингера В. М. Введение в финансовые и актуарные вычисления /
 В. М. Сингера. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 352 с.

12. Четыркин Е. М. Финансовая математика / Е. М. Четыркин. – М.: Наука, 2000. – 523 с.

13. Ширшов Е. В. Финансовая математика. / Е. В. Ширшов, Н. И. Петрик, А. Г. Тутыгин и др. – М.: Изд-во КноРус, 2006. – 138 с.

 

 

Приложение