Задачи со следствиями из 1 и 2 зам. Пределов.

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 1

Группы 520, 530

Томск

ТУСУР

2020

 

В связи с переполнением файла и невозможностью обработки больших файлов редактором Word, материалы практики после № 18 идут отдельным файлом.

Таблица соответствия недель, задач и номеров практик.

Неделя	520	Задачи	530	Задачи
с 14 сент.	1 17.09 2 18.09	1-13 14-20	1 19.09 2 19.09	1-13 14-20
с 21 сент	3 23.09 4 25.09	21-28 29-35	3 23.09 4 25.09	21-28 29-35
с 28 сент	5 1.10 6 2.10	36-46 47-57	5 3.10 6 3.10	36-46 47-57
с 5 окт	7 7.10 8 9.10	58-66 67-76	7 7.10 8 9.10	58-66 67-76
с 12 окт	9  15.10 10 16.10	77-89 90-99	9 17.10 10 17.10	77-89 90-99
с 19 окт	11 21.10 12 23.10	100-108 109-115	11 21.10 12 23.10	100-108 109-115
с 26 окт	13 29.10 14 30.10	116-133 134-142	13 31.10 14 31.10	116-133 134-142
с 2 нояб	- (4.11) 15 6.11	- 143-152	15 5.11 16 6.11	143-152 153-160
с 9 нояб	16 9.11 17 11.11	153-160 161-170	17 9.11 18 13.11	161-170 171-180
с 16 нояб	18 18.11 19 20.11	171-180 181-196	19 19.11 20 20.11	181-196 197-210
с 23 нояб	20 23.11* 21 25.11*	197-210 211-224	21 23.11* 22 27.11*	211-224 225-243
с 30 нояб	22 2.12* 23 4.12*	225-243 244-255	23 3.12* 24 4.12*	244-255 256-264
с 7 дек	24 7.12* 25 9.12*	256-264 265-271	25 7.12* 26 11.12*	265-271
с 14 дек	26 16.12* 27 18.12*		27 17.12* 28 18.12*
с 21 дек	28 21.12* 29 23.12*		29 21.12* 30 25.12*

 

Практика 19.   Предел функции.

Сначала рассмотрим примеры, где . Методы решения для последовательности () и для функции при  во многом очень похожи: для последовательности величина дискретно увеличивается, для функции - непрерывно, но всё равно и там, и здесь неограниченное возрастание.

Задача 181. Найти предел .  

Решение. Так как переменная неограниченно возрастает, то тоже влияют её старшие степени и коэффициенты перед ними.

Сократим дробь:  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 182.  Найти предел . 

Решение. Аналогично тому, как в прошлом примере, сократим на старшую степень, здесь это .

 =  = =  = .  

Ответ. .

Задача 183. Найти предел  . 

Решение. В этом примере надо домножить и поделить на «сопряжённое» то есть на сумму, чтобы использовать формулу .

 =  =  теперь сократим на :

В знаменателе можно представить  в виде , чтобы упростить выражение в знаменателе: 

 =  =  =  = . Ответ. .

Задача 184. Найти предел  .

Решение. Заметим, что , то есть указанная сумма, фактически, есть разность. Домножаем на сопряжённое выражение, которое формально будет разностью, а на самом деле - суммой:

 =  =

 =  . Здесь в знаменателе разность, но 2-я величина отрицательна, то есть фактически - сумма бесконечно-больших. Тогда получается, что дробь - величина, обратная к бесконечно-большой, т.е. бесконечно-малая. .

Ответ. 0. 

 

 

Задача 185(А,Б). Найти пределы , .

Решение. Сейчас на этом примере мы увидим, как может отличаться ответ в зависимости от  или . И в том, и в другом случае мы стараемся сократить дробь на множитель .

Если  положительно, то  можно представить в виде .

 =  =  =  = .

А вот если  отрицательно, то надо учесть, что  это , оно положительно, то есть при  верно . Поэтому

 =  =  = .

Ответы. 4 и .   

 

Примеры, в которых .

Задача 186. Найти предел . 

Решение. В этом случае  стремится к числу, а не бесконечности. Получается неопределённость совсем другого типа: если в прошлых примерах было  или , то здесь . Если просто подставить 1 в это выражение, получилось бы . Поэтому и нельзя просто подставить и вычислить значение, а нужно раскрывать неопределённость. Выделим множитель  и в числителе, и в знаменателе, чтобы его сократить.

 =  =  = 2.

Когда сократили, тогда уже можно просто подставить .

Ответ. 2.

Задача 187. Найти предел .

Решение. Найдём корни многочленов в числителе и знаменателе, и разложим на множители.  =

=  = . Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

Задача 188. Найти предел .

Решение. Разложим на множители, как и в прошлой задаче.

 =  =  = .

Нашли корни числителя и знаменателя, разложили на множители. Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

 

Задача 189. Найти предел .

Решение. Во-первых, если просто подставить , видно неопределённость . Это означает, что  является корнем, т.е. по крайней мере, хотя бы один множитель вида  и в числителе, и в знаменателе найдётся. Это облегчает поиск корней, можно обойтись даже без дискриминанта, а просто найти второй дополняющий. Когда мы сократим все , можно будет просто подставить  в оставшееся выражение.

 =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 190.  Найти предел .

Решение. Способ 1. Тот факт, что при подстановке  и в числителе, и в знаменателе даёт значение 0, говорит о том, что множитель  присутствует хотя бы один раз. Поэтому найти корни можно даже без дискриминанта.

 =  =  = = = .

Способ 2. (Лопиталя).

 =  =  =  = = .

Ответ. .

Задача 191. Найти предел .    

Решение. Способ 1.

 =   =  =  = .

Способ 2.  =  =  =  = .   Ответ. .

 

Задача 192. Найти предел .

Решение.  Воспользуемся формулой разности кубов: 

.

 =  =  = 27.

Впрочем, можно сделать и методом Лопиталя:  

 =  =  = 27.

Ответ. 27.

 

Задача 193. Найти предел .  

Решение.  =  =  =  =   = 2.

Ответ. 2.

 

Задача 194 (А,Б).   Найти  и .

Решение. Сразу вынесем за скобку общий множитель и в числителе, и в знаменателе, там все остальные коэффициенты ему кратны. Затем разложим на множители.

 =  =  =

 =  = .   

 

А при   другой тип неопределённости, и применяется совершенно другой метод решения, несмотря на то, что функция та же самая.

 =   =  = .

Ответы.  и .

Замечание. Оба этих предела можно было найти по правилу Лопиталя.

 =  =  = .

 = =  = .

 

Задача 195. Найти предел .

Решение. Домножим и разделим на сопряжённое к каждой разности.

При этом соединим дугой те, которые в итоге сворачиваются в разность квадратов. Прочие множители, которые ни с чем не объединяются, вынесем в отдельную дробь, и даже в отдельный предел. Получается произведение пределов:  

 

В одном из них нет неопределённости, а во втором преобразуем так, чтобы сократить скобку .

=  =  =  = .

Ответ. .   

Задача 196. Найти предел . 

Решение. В этом случае можно с помощью замены преобразовать так, что будут только целые степени, а для получившихся многочленов уже можно искать корни и проводить разложение на множители.

НОК(2,3) = 6. Если обозначим , то:

,   .

При этом, если , то и  тоже стремится к 1.

* Такое совпадение при замене переменной бывает далеко не всегда, а лишь в частных случаях, а обычно надо пересчитать, возможно новая переменная стремится к другому числу. Например, если  и , то .

Итак,  =  =  (для удобства сделали, чтобы многочлены начинались со старшей степени). Далее,  

 =   =  = . 

При этом даже нет необходимости делать обратную замену и возвращаться к старой переменной.

Ответ. .   

 

 

Практика 20.        1-й, 2-й замеч. пределы и их следствия.

«1-й замечательный предел».

Вспомнить теорию:

.

Следствия из 1-го замечательного предела:

,   

Задача 197. Найти предел .  

Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.

 =  =  =  = .

Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности  если переобозначить .

Ответ. . 

Задача 198. Найти предел .

Решение.  =  =  = 5.

Ответ. 5. 

 

Задача 199. Найти предел .

Решение.  =   =

 =  =

 = 24.

Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть .    

Ответ. 24.

Задача 200. Найти предел .

Решение.  Эту задачу можно решить с применением тригонометрических формул.

Способ 1. По формуле . Получается

 =  =  = 2.

Способ 2.  =   =  = 2.

Ответ. 2. 

 

Задача 201. Найти предел .

Решение.    =  =  =

 = (замена )  =

 = .     

Ответ. 3.

 

 

«2-й замечательный предел».

Вспомнить формулы:

Следствия из 2-го замечательного предела.

      ,   .

Эквивалентности бесконечно малых, следующие из 2 зам. lim

     

 

Задача 202. Найти предел .

Решение. Здесь целая часть 1 выделена в явном виде. Остаётся только домножить и найти предел в степени.

 =  =

 =  =  =  =  = . 

Ответ. .    

Задача 203. Найти предел .

Решение.  =  =

 =  =  = .

Ответ. .

Задача 204.  Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость . Основание стремится к 1, так как здесь одинаковые старшие степени многочленов в числителе и знаменателе, и одинаковые коэффициенты при них. Отделим от дроби её целую часть, то есть 1. 

=  =  = .

Слагаемое, которое следует после 1, стремится к 0, что и должно быть для 2 замечательного предела. Далее,

 =  = 

 =   =  = . Ответ. .

 

 

Задача 205. Найти предел .

Решение. Здесь сначала заметим, что основание стремится к 7/7 = 1. А степень к бесконечности. То есть, неопределённость типа  и можно использовать 2-й замечательный предел. Сначала выделяем целую часть дроби, то есть 1. Прибавим и отнимем 1, но ту, которую отняли, представим в таком виде, чтобы она объединилась с дробью. 

 =  = =

 =  теперь после 1 следует бесокнечно-малая, которая обращается в 0 при , ведь там числитель . Далее, в степени домножаем обратную к этой дроби, но при этом и её саму тоже, чтобы ничего не изменилось.

=  =

использовали тот факт, что .

Далее, получаем  =

 =  = .      

Ответ. .  

Задача 206. Найти предел .

Решение. Заметим, что основание стремится к 1, неопределённость типа , можно использовать 2-й замечательный предел.

 =  =  =

 =  =  =  =

 =  = .     

Ответ. .

 

Задача 207. Найти предел .  

Решение.  =  =  =  =

 =  =

 =  = .

Ответ. .

 

Замечание. Некоторые особенности вычислений, в которых не требуется второй замечательный предел. Если основание стремится не к 1, а к числу a<1 а степень к бесконечности, то можно сразу сделать вывод, что предел 0. Если a>1 то наоборот, .

, .

Если основание и показатель стремятся к  соответственно, то 2-й зам. предел не требуется, а ответ .

. 

 

Практика 21.

Асимптоты.

Если  то .

Горизонтальные: Если  , , то асимптота горизонтальная, эта ситуация имеет место, когда .

Пример.  две односторонние горизонтальные асимптоты:  и .

 

Вертикальные:   Если  , , то асимптота вертикальная (это соответствует разрыву 2 рода, ).

 

         

 

Наклонные асимптоты. 

Задача 219. Вывод формул  и .

Так как точка на графике и на асимптоте сближаются то: 

.

Отсюда следует, что , то есть 

.

Рассмотрим прямую , параллельную асимптоте .

Если разность ординат для точки на графике и соответствующей точки на прямой  стремится к 0, то разность ординат для точки на графике и точки на прямой  стремится к . Отрезок, соответствующий этому расстоянию, отмечен красным на чертеже.

Если две величины,  и , неограниченно возрастают, и при этом разность между ними стремится к 0, то их отношение стремится к 1, то есть . Но ведь также очевидно, что  =  = 1.

Тогда рассмотрим , этот предел равен 1. Однако если сократить в нём  то , а тогда .

 

 

Итак, мы получили формулы для нахождения . На практике сначала надо найти , а уже затем .

Пример 220. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Во-первых, сразу видно точку разрыва 2-го рода . Есть вертикальная асимптота .

Найдём наклонную асимптоту.

 (мы просто добавили лишний  в знаменателе, тем самым поделили на ).

=  =  = 1. Итак, .

Обратите внимание: здесь предел одинаково вычисляется при  и при , но бывают примеры, в которых по-разному, то есть на правой и левой полуплоскости могут быть разные асимптоты.

Найдём  =  =  = = =  = 2.

Ответ. Вертикальная x = 2, наклонная y = x + 2.

График выглядит так: 

 

 

Задача 221. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Во-первых, знаменатель не обращается в 0, поэтому точек разрыва 2-го рода нет, и нет вертикальных асимптот. Горизонтальных асимптот также нет, т.к. , предел не константа С.

Ищем наклонные асимптоты.

 =  = 1.

 =  =  =

. Асимптота . Чертёж:

Ответ. Асимптота .

 

Задача 222. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Во-первых, при  знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая  это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты.

 =  = 2. Причём этот результат не зависит от того, предел при  или , ведь обе старшие степени чётные. Нашли , т.е. есть наклонная асимптота типа . теперь найдём .

 =  =  =

 =  = . Итак,  и опять же, это независимо от  или . Значит, прямая  это двусторонняя асимптота.

Ответ. Вертикальная   и наклонная . График:  

 

Задача 223. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Область определения: . Здесь нет знаменателя, который мог бы обращаться в 0, поэтому вертикальных асимптот нет. Функция не ограниченная при , поэтому и горизонтальных асимптот нет, так что ищем только наклонные. Функция чётная, поэтому можем искать только при  на правой полуплоскости, а на левой график симметричен, так что если  будет асимптотой на правой полуплоскости, то

 на левой. А вот двусторонняя асимптота здесь никак не могла бы быть, ведь график симметричен относительно вертикальной оси, т.к. функция чётная.

=  =  = 1.

 =  =

здесь умножили на сопряжённое, как в таких пределах делали раньше.

 =  = .

Итак, , , на правой полуплоскости асимптота . Тогда из-за симметрии графика чётной функции на левой полуплоскости наклонная асимптота .

Ответ. Две односторонние асимптоты  и .

График (асимптоты показаны зелёным цветом).

Задача 224. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция не является чётной, поэтому здесь придётся при  и  искать пределы каждый отдельно.

 =  =  = .

 =  =  =

= = = 0.

Итак, , , на правой полуплоскости асимптота .

На левой полуплоскости:  

 =  =

 = .

 =  =