Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а₁, параллельную прямой а, и прямую b₁, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а₁ и b₁ пересекаются в точке О. Угол между пересекающимися прямыми а₁ и b₁, угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Рис. 5.

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О₁. Через точку О₁ проведем прямую а₂, параллельную прямой а, и прямую b₂, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямыми а₂ и b₂ обозначим φ₁. Тогда углы φ и φ₁- углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.

 

Рис. 6.

Задача 1

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если:

1) ∠ АОВ = 40°.

Выберем точку С. Через нее проходи прямая СD. Проведем СА₁ параллельно ОА (Рис. 7.). Тогда угол А₁СD – угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А₁СD равен углу АОВ, то есть 40°.

Рис. 7.

2) ∠ АОВ = 135°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 8.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА₁.

Рис. 8.

3) ∠ АОВ = 90°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 9.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА₁ равны 90°. Искомый угол равен 90°.

Рис. 9.

Задача 2

1) Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Рис. 10.

Доказательство

Пусть нам дан пространственный четырехугольник ABCD. M,N,K,L – середины ребер BD,AD,AC,BC соответственно (Рис. 10.). Нужно доказать, что MNKL – параллелограмм.

Рассмотрим треугольник АВD. МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ и равняется ее половине.

Рассмотрим треугольник АВС. LК – средняя линия. По свойству средней линии, LК параллельна АВ и равняется ее половине.

И МN, и LК параллельны АВ. Значит, МN параллельна LК по теореме о трех параллельных прямых.

Получаем, что в четырехугольнике MNKL – стороны МN и LК параллельны и равны, так как МN и LК равны половине АВ. Значит, по признаку параллелограмма, четырехугольник MNKL – параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СD, если угол МNК = 135°.

Как мы уже доказали, МN параллельна прямой АВ. NК – средняя линия треугольника АСD, по свойству, NК параллельна DС. Значит, через точку N проходят две прямые МN и NК, которые параллельны скрещивающимся прямым АВ и DС соответственно. Значит, угол между прямыми МN и NК является углом между скрещивающимися прямыми АВ и DС. Нам дан тупой угол МNК = 135°. Угол между прямыми МN и NК – наименьший из углов, полученных при пересечении этих прямых, то есть 45°.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории.