Формирование нормально распределенных случайных чисел,

 

На практике для нормального закона нашел применение метод, основанный на центральной предельной теореме вероятностей. По этой теореме в результате суммирования определенного числа независимых случайных величин, сравнимых по первым двум моментам распределения получается случайная величина, приближенно распределенная по нормальному закону.

Если случайная величина R распределена равномерно в интервале [0, 1], то ее математическое ожидание m и дисперсия D равны:

 

s²= .

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин получается случайная величина, имеющая приближенно нормальное распределение.

Составим сумму n независимых, распределенных равномерно в интервале [0, 1] случайных величин R_j, где j = 1, n

(x)              Þ .

Для нормирования этой суммы найдем ее матожидание m и дисперсию D.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма содержит n слагаемых, матожидание каждого из которых равно 1/2, следовательно:

M(x)               ®

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых равна 1/12, следовательно, дисперсия суммы:

D (x)               ® = n /12

Следовательно, s= .

Пронормируем рассматриваемую сумму, т. е. перейдем к одной переменной:

       ®

В соответствии с центральной предельной теоремой при n ® ¥ распределение этой величины стремится к нормальному закону с параметрами М (х)=0 и s=1.

При конечном n распределение приближенно нормальное. В практических задачах достаточно n =12 и получается удобное для расчета приближение. При 6-ти распределениях Симпсона (по Гаврилову) распределение приближается к нормальному.

                    N  в интервале [-3,  3]

 

Уже при n = 4 распределение приближается к нормальному закону.

 

Метод обратной функции

 

Случайная величина Х описывается интегральной F (x) и дифференциальной f (x) функциями распределения. Зная одну изэтих функций, можно предсказать поведение случайной величины, так как функции связаны между собой соотношениями:

,               j (x)= F ¢ (x)

Условие формирования непрерывной случайной величины Х по заданному закону распределения: поскольку R_i = F (х _i), то необходимо выполнить преобразование

 

Х _i = F ^–1(R_i),

 

где R_i — равномерно распределенное случайное число;

F ^–1 – функция, обратная по отношению к распределению случайной величины Х.

Использование метода обратной функции для расчета случайной величины требует сравнительно больших затрат машинного времени, так как связано с численным решением не поддающегося аналитическому расчету интеграла. Имеются табулированные значения интеграла для нормированной величины S = (х – m _x)/s _x, по которым, записав таблицу в память ЭВМ можно находить случайные величины, распределенные по требуемому закону.

На основании данного выражения можно моделировать случайные числа с требуемым законом распределения.