Оптимизация равновесных экзотермических реакций

Рассмотрим химическую реакцию с целевым продуктом P, проходящую по схеме:

Скорость реакции по целевому продукту выражается по законудействующих масс:

 

 

Необходимо определить температуру T

проведения реакции, при которой:

 

Необходимое условие экстремума:

 

 

 

В состоянии равновесия скорость реакции W равна 0:

 

Получаем связь равновесной и оптимальной температур проведения реакции:

откуда:

После логарифмирования получаем:

Откуда следует:

 

Задача 1

Рассчитать оптимальное время проведения химической реакции в аппарате идеального смешения, приняв в качестве критерия оптимальности выход целевого продукта P.

Схема реакции:

 

 

Порядок обеих стадий реакции – первый. Константы скоростей равны:

 

Решение

Материальный баланс по компонентам A и P:

 

При делении уравнений на расход реагента v получаем:

 

 

где

 

 

- среднее время пребывания реагентов в реакторе

Выход продукта P выражается:

 

 

Необходимое условие существования экстремума:

 

 

Поскольку

 

и

Условие экстремума будет иметь вид:	Откуда:

 

 

Задача 2

Рассчитать оптимальное время проведения реакции в периодическом реакторе с мешалкой, использовав в качестве критерия оптимальности выход целевого продукта P.

Схема реакции:

 

 

Порядок обеих стадий реакции – первый. Константы скоростей равны:

 

Решение

Материальный баланс по компонентам A и P

для периодического реактора:

Начальные условия:

 

 

Первое уравнение системы – с разделяющимися переменными:

 

При интегрировании получаем:

 

 

Откуда следует:

 

Полученное соотношение подставляется во второе уравнение системы:

 

При делении обеих частей полученного выражения на

получаем дифференциальное уравнение относительно выхода       :

 

С начальными условиями:

 

Решение полученного дифференциального уравнения стандартными методами даёт:

 

Необходимое условие существования экстремума:

 

 

Поскольку

 

получаем:

 

Логарифмирование последнего выражения даёт:

 

 

Подставляя

 

в выражение для

получаем максимально возможный выход целевого продукта P для реактора периодического действия:

 

 

Задача 3

Рассчитать оптимальную температуру проведения обратимой двухкомпонентной реакции в реакторе с мешалкой, использовав в качестве критерия оптимальности выход целевого продукта P.

Схема реакции:

Порядок обеих стадий реакции – первый. Константы равны:

 

Значения энергий активации стадий реакции:

 

Время пребывания в реакторе:

Решение

Материальный баланс по компонентам А и P для реактора идеального

перемешивания:

 

Из системы уравнений материального баланса определяется выражение для выхода компонента P:

 

где

- среднее время пребывания реагентов в реакторе

 

 

Необходимое условие существования экстремума:

 

 

 

Приравнивая числитель последнего выражения к нулю,

получаем:

 

Учитывая, что:

 

Получаем:

Из последнего выражения следует:

или

Логарифмирование

последнего выражения даёт:

 

 

Подставляя численные значения параметров, получаем: