Теперь обратимся к такому понятию, как частота события.

Частотой, или статистической вероятностью, события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А (m), к общему числу опытов (n).

Обозначим частоту события через Р* и получим:

 

Оговорим, что под опытом будем понимать реализацию определенного комплекса условий. При небольшом числе опытов частота носит случайный характер и может заметно измениться от одной группы опытов к другой.

Итак, частота и вероятность — тесно связанные друг с другом понятия, но существенно различные.

Классическая вероятность

Классическая вероятность применима к ситуациям, когда нам известно число возможных исходов определенного события и можем вычислить вероятность этого события с помощью следующего уравнения:

Р[А] =Количество возможных исходов реализации события А / общее количество возможных исходов в выборочном пространстве;

Где

Р[А] = вероятность того, что произойдет событие А.

Чтобы воспользоваться классической вероятностью, вам необходимоиметь представление о происходящемсобытии, чтобы оценить количествоего исходов. Вы 'также должны суметьсосчитать общее число событий в данном выборочном пространстве.

Рассчитаем вероятность извлечения из кармана халата, в котором лежат две синих и одна красная ручка, красной ручки.

Р[Акр]=1/3≈0,33, противоположное событие извлечение синей ручки составит Р[Акр]=2/3≈0,66

Эмпирическая вероятность

Когда мы не обладаем достаточной ин-формацией о происходящем и не можем определить число возможных исходов интересующего нас события,мы можем воспользоваться эмпирической вероятностью. Этот тип вероятности определяет количество реализаций события эмпирическим путем ивычисляет вероятность с помощьюраспределения относительных частот.Получаем следующее уравнение:

Р[А]= частота события А / общее количество наблюдений.

Примером эмпирической вероятности можно с уверенностью назвать вопрос: какова вероятность того, что Петр сдаст зачет с первого раза? Поскольку результат зависит от множества причин придется опереться на эмпирическую вероятность. Втаблице ниже представлено количество попыток потребовавшихсяПетрупо 20 дисциплинам, чтобы получить зачет.

2	4	3	3	1	2	4	3	3	1
4	2	3	3	1	3	2	4	3	4

 

Мы можем суммировать эти данные и представить их в виде распределения относительных частот.

Распределение относительных частот попыток сдачи зачетов Петра

Количество попыток	Количество наблюдений	Процент
1	3	3/20=0,15
2	4	4/20=0,2
3	8	8/20=0,4
4	5	5/20=0,25

Всего: 20

На основании этих наблюдений следует: если Событие А = Петрсдаст зачет с 1 раза, тогда Р[А] = 0.15.

Используя предыдущую таблицу, мы можем также определить вероятность и других событий. Предположим, Событие В = Петру требуется более2 попыток, чтобы получить зачет. Тогда Р[В] = 0.40 + 0.25 = 0.65. Этому студенту следует увеличить старание в учебе!

Закон больших чисел. ТерминыЗакон больших чисел гласит,что когда эксперимент проводится большое число раз, эмпирическая вероятность этого процесса стремится к классической.

Чтобы продемонстрировать вам действие этого закона, предположим, чтоя трижды подбросил монетку, и каждый раз она выпадала «орлом» вверх. Дляданного эксперимента эмпирическая вероятность выпадения орла равняется100%. Но если бы я подбросил монету 100 раз, эмпирическая вероятностьоказалась бы гораздо ближе к классической вероятности в 50%.

Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Я. Бернулли показал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что наблюдаемая частота случайного события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности появления события в отдельном опыте.

Практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота стремится к некоторой постоянной величине, которая представляет собой вероятность появления случайного события.

Субъективная вероятность. Субъективная вероятность используется тогда, когда классическую и эмпирическую вероятности применить невозможно. В этом случае при оценке вероятности мы вынуждены полагаться на опыт и интуицию.Примерами субъективной вероятности могут служить следующие вопросы: «Какова вероятность того, что пациент будет соблюдать предписанный режим питания (60%).

Основные свойства вероятности

Следующий наш шаг - это ознакомление с основными правилами теориивероятности.

Если Р[А] - 1, то Событие А точно произойдет. Пример События Ачеловек с наличием пульса, дыхания и мозговой активности жив.

Если Р[А] - 0, то Событие А не произойдет. Пример События А – студенты университета за год не пропустят ни одной лекции.

Вероятность События А должна быть между 0 и 1.

Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства должнаравняться 1. Например, если экспериментом является подбрасываниемонеты при Событии А = орел и Событии В = решка, то А и В представляют собой все выборочное пространство. Мы также знаем, что Р[А] +Р[В] = 0.5 + 0.5 = 1.

Дополнение События А определяется как все исходы в пределах выборочного пространства, которые не являются частью События А, и обозначается А'. Используя это определение, мы можем утверждать следующее: Р[А] + Р[А'] = 1 или Р[А] = 1 - Р[А'].

В ранее предложенном примере вероятности извлечения из кармана халата, в котором лежат две синих и одна красная ручка, красной ручки.

Р[А]=1/3≈0,33, противоположное событие извлечение синей ручки составит Р[А']=1-0,33≈0,67;

Прежде чем перейти к основным теоремам, введем еще два более сложных понятия — сумма и произведение событий. Эти понятия отличны от привычных понятий суммы и произведения в арифметике. Сложение и умножение в теории вероятностей— символические операции, подчиненные определенным правилам и облегчающие логическое построение научных выводов.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе.

Можно сказать так: суммой нескольких событий является событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них»

Например, если пассажир ждет на остановке трамваев какого-либо из двух маршрутов, то нужное ему событие заключается в появлении трамвая первого маршрута (событие-А), или трамвая второго маршрута (событие В), или в совместном появлении трамваев первого и второго маршрутов (событие С). На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде:

D=A+B + C.