Собственно – корреляционные параметрические методы изучения связи

Измерение тесноты и управления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определённые меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторных.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчёта данного коэффициента:

.

Производя расчёт по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

.

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определённая зависимость, выражаемая формулой:

,

где    а _i  – коэффициент регрессии в уравнении связи;

s _{х i} – среднеквадратическое отклонение соответствующего, статистически существенного, факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1: -1 £ r £ 1.

Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента корреляции можно представить в таблице.

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента связи	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	отсутствует	¾
0 < r < 1	прямая	с увеличением х увеличивается у
-1 < r < 0	обратная	с увеличением х уменьшается у и наоборот
r = 1	функциональная	каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Если результат по всем формулам одинаков, то это свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками. В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда d ² характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

,

где   h - корреляционное отношение;

  s ² – общая дисперсия;

 – средняя из частных (групповых) дисперсий;

d ² – межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).

Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

                 ,                      

где      d ² – дисперсия выравненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии;

s ² – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0 £ h £ 1) и анализ степени тесноты связи полностью соответствует линейному коэффициенту корреляции.

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трёх и более признаков одновременно, вычисляется множественный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:

 

,

где r _ух  - парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 £ R £ 1.

 Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

 Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х₁ и х₂ при фиксированном значении других (k - 2) факторных признаков, то есть когда влияние х₃ исключается, то есть оценивается связь между х₁ и х₂ в «чистом виде».

В случае зависимости у от двух факторных признаков х₁ и х₂ коэффициенты частной корреляции имеют вид:

 

         ,   

                

где    r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

 

         ,           

       

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х₁.