Расчет газовой смеси. Основные расчетные соотношения

 

Определим вид соотношений между мольными, объемными и весовыми долями смеси.

Объем 1 кмоль любого газа при р и Т смеси равен vμ.

Тогда vсм =

и vi=

и

r I=

.                                   (26)

Вывод: объемные и мольные доли равны.

Для определения связи между массовыми и объемными долями вводится понятие о средней, или кажущейся, молярной массе

.

=

это отношение массы всей смеси к общему числу ее молей.

Эта величина носит условный характер, так как по отношению к смеси, состоящей из разнородных молекул, понятие массы может быть применимо только в случае замены этой смеси (разнородных молекул) фиктивными однородными молекулами.

Если вычислено

, все расчеты можно вести так, как будто имеют дело с однородным газом

=

=

,                            (27)

где число молей К определяется по массе газа и его молярной массе

,

.

Разделив числитель и знаменатель на mсм  , получим

.                                             (28)

Если смесь задана объемными или мольными долями, то

определяется следующим образом:

- из определения киломоля к следует mi=

и mсм=

;

- в то же время m см = m 1 +…+ m п  или

=

.

Тогда

.                (29)

Связь между массовыми и объемными долями устанавливается следующим образом

,                 (30)

или учитывая выше полученное выражение для

 

.                                           (31)

Для пересчета массовых долей в объемные пользуются следующими соотношениями

.                               (32)

Так как

то

. Отсюда

.                        (33)

 

Уравнение состояния для смеси

Запишем уравнения состояния для отдельных компонентов смеси и выполним сложение

откуда

                                    (34)

где

газовая постоянная смеси.

Справедлива также запись R см =

.                               (35)

 

2.8 Контрольные вопросы

1. Выполните вывод уравнения состояния, пользуясь законами Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

2. В чем заключается физический смысл газовой постоянной?

3. Запишите универсальное уравнение состояния идеального газа.

4. Что такое газовая смесь? Сформулируйте законы Дальтона и Амага.

5. Как определяется газовая постоянная смеси?

ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

Теплоемкость

Для того, чтобы два различных вещества с одинаковой массой нагреть до одинаковой температуры, нужно затратить разное количество тепла. Так на нагревание воды тепла нужно в 9 раз больше, чем для железа. Следовательно, каждое тело обладает своей теплоемкостью.

Теплоемкостью называют количество тепла, необходимое для нагревания данного тела. Обычно сообщение телу тепла вызывает изменение его состояния и сопровождается изменением температуры, что является следствием изменения кинетической энергии молекул.

Теплоемкость зависит от термодинамического характера процесса нагревания, то есть теплоемкость – параметр процесса. В технике пользуются понятием средняя удельная теплоемкость - это количество теплоты, потребное для нагревания единицы количества вещества на 1оС в заданном интервале температур С =

. Так как количество вещества может быть задано в массовых, объемных или мольных единицах, различают средние массовую

, объемную

, и мольную

теплоемкости при нормальных физических условиях, т.е. при р = 101332 Н/м2 и t = 0oC).

Между указанными теплоемкостями легко установить связь

,                                       (36)

 

 

где v o  – удельный объем при нормальных условиях,

В определении средней удельной теплоемкости подчеркнуто, что с находится в заданном интервале температур, т.е. теплоемкость зависит от температуры. Действительно, у подавляющего большинства веществ с растет с ростом температуры. У газов с еще незначительно зависит от давления, т.е. с = f (t, p).

Экспериментальные исследования показали, что полученные значения темплоемкостей часто сильно расходились с данными классической молекулярно-кинетической теории. Большую сходимость

              Рис. 5                          

имели только опыты при сравнительно невысоких t. Дальнейшее развитие науки о строении вещества (квантовая теория), показало, что при теоретическом определении с необходимо учитывать не только атомность газов, но и энергию внутримолекулярных колебаний атомов.

Зависимость с = f (t) графически изображается в виде кривой (рис.5). Из рисунка видно, что истинная теплоемкость соответствует бесконечно малому dt, и согласно определению

.

В общем случае, т.к. теплоемкость является параметром процесса, а процессов существует бесчисленное множество, теплоемкостей тоже существует бесчисленное множество. Параметр с может принимать значение от 0 (когда q = 0, адиабатный процесс) до

(когда t2 – t1=0, изотермный процесс), может быть положительной (знаки q и совпадают) и отрицательной (знаки q и

не совпадают). На практике используются значения с, полученные для процессов подвода тепла при р = const (ср) и v = const (с v). Значения теплоемкостей для прочих процессов рассчитываются по специальным формулам.

 

Закон Майера

Поместим в одинаковые цилиндры по 1 кг одного и того же газа с одинаковыми параметрами и попытаемся нагреть этот газ до одной и той же температуры Т. В первом цилиндре поршень приварен к стенкам, а во втором – не встречает сопротивления при движении.

. Для этого нужно подвести тепло, в первом цилиндре q v, а во втором – qp. При этом q v =с v (T2- T1), qp=с p(T2- T1).

     Рис. 6                      

Очевидно, что qp > q v, так как во втором случае теплота будет расходоваться не только на нагрев газа, но и на совершение работы (рис.6).

В данном случае

(см. рис.4). В свою очередь, так как p v = RT,

, или

 

Отсюда получим закон Майера:

                                                            с p -с v = R.                                               (37)

В теплотехнических расчетах применяется отношение с p/с v =к, которое называется показателем адиабаты. Т.к. с p> с v, то к>1.

        С удовлетворительной инженерной точностью применительно ко всем двухатомным газам и воздуху можно считать с p и с v постоянными и равными:

с p = 1,004 кДж/кг град; с v = 0,716 кДж/кг град.

Тогда к =

.

 

Первый закон термодинамики

Согласно закону сохранения и превращения энергии, последняя не может быть ни создана, ни уничтожена, а может быть только преобразована из одного вида в другой при различных физических и химических процессах.

Исторически для измерения отдельных видов энергии принимались различные единицы – калории, кгм, джоули, кВт·ч, л.с.· ч и т.д. В связи с этим превращение энергии происходит не в численно равных, а в эквивалентных отношениях. Из физики известен тепловой эквивалент единицы работы: 1 кгм = 1/427 ккал.

Известны также следующие соотношения: 1 л.с.· ч = 632,3 ккал = 0,735 кВт ч; 1 кВт ч = 860 ккал.

Раньше нами было отмечено, что I закон является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии применительно к процессам, протекающим в термодинамических системах. В общем случае I закон можно сформулировать следующим образом: “Полная энергия изолированной термодинамической системы при любых происходящих в системе процессах остается неизменной”.

Лишь через 100 лет после выводов Ломоносова, после его общей формулировки закона сохранения энергии, в 1842 г. Роберт Майер на основании опытов установил прямую пропорциональность между затраченной теплотой Q и полученной работой L и определил количественное соотношение между ними (если Q и L выражены в Дж):

                                                    Q = L.                                               (38)

Раз теплота затрачена – она исчезла, в результате этого получена работа и наоборот. Т.е. применительно к тепловым и механическим явлениям первый закон может быть сформулирован следующим образом:

“Когда исчезает определенное количество тепловой энергии, возникает эквивалентное количество механической энергии (в виде совершенной работы) и наоборот”.

Утверждение первого закона способствовало прекращению попыток построить двигатель, вырабатывающий механическую энергию без потребления какого-либо другого вида энергии (например, выделяющейся при горении топлива) – «perpetuum mobile первого рода».

Уравнение первого закона в данном виде недостаточно полно характеризует баланс энергии в процессах изменения состояния газа. Эти процессы обычно протекают при теплообмене с газом, поэтому рассмотрим составляющие этого теплообмена.

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем к 1 кг газа подводится бесконечно малое количество тепла dq. В этом случае увеличится кинетическая энергия поступательного движения молекул, вследствие чего газ совершит работу (выраженную перемещением поршня)

. Кроме этого, изменятся все виды энергии, присущие состоянию молекул – т.е. изменится внутренняя энергия газа. Таким образом, теплота расходуется на изменение внутренней энергии и совершение работы

dq = du + d

.                                        (39)

Из описания работы тепловых двигателей видно, что в термодинамике рассматривают две резко различающиеся группы физических изменений газа. В поршневых двигателях движение газа не значительно и им можно пренебречь.

В ротативных тепловых двигателях (например, паровая турбина) изменение состояния газа сопровождается интенсивным (с большой скоростью W) движением рабочего тела. Для этого случая первый закон термодинамики запишется в виде

.                                 (40)

(Например, в ДВС W 1  = 0,1 м/сек, W 2   = 10 м/сек, в ПТУ W 1   = 0,1 м/сек W 2  = 1000 м/сек).