Журнал «Начальная школа» 2009г №3 страница 17-22

(Конспект статьи журнала начальная школа стр 17 2009г №3)

Истоки табличного умножения и деления уходят глубоко в историю: в Древнем Вавилоне использовались готовые 60-ые таблицы умножения, в III и I веках - квадратные таблицы. Прообраз современной таблицы появился в V-VI веках. В 1757 году введена применяемая сегодня форма записи умножения Н.Г.Кургановым, таблица делениявпервые была помещена в учебники арифметики П.С. Гурьевым в 1832 году. Благодаря работам С.И. Шорох-Троцкого и Н.А. Менчинского, в конце ХIХ века механическому заучиванию таблиц умножения и деления на смену пришло осмысленное запоминание на основе взаимосвязи между умножением и делением. В практику работы школы вошли методы изучения таблиц умножения и деления А.И. Гольберга и В.К. Беллюстина.

2. Научно-теоретическая основа действий умножения и деления.

В методико-математической литературе для определения умножения используются три подхода:

• 1) с помощью системы аксиом и отношения «непосредственно следовать за»;
• 2) умножение как объединение равночисленных непересекающихся множеств;
• 3) умножение как сложение одинаковых слагаемых.

Для определения действия деления используются два подхода:

• 1) деление как действие, обратное умножению;
• 2) деление как разбиение множества на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества, в котором требуется найти число подмножеств (деление по содержанию) или число элементов подмножества (деление на равные части).
• 3. Особенности изучения табличного умножения и деления в дидактической системе «Школа России» (Моро М.И. и др. Математика. 1-4 класс)

После введения смысла умножения при изучении случаев умножения на 2 и 3 на однозначное число, большее 1, составляются две таблицы умножения. При изучении случаев умножения на 4, 5, 6, 7, 8, 9 - четыре таблицы: две - на умножение, две - на деление по одинаковому плану.

• 1) Составление таблицы умножения по постоянному первому множителю (3 п, где п = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Результат следующего примера находится путем прибавления 3 к результату предыдущего: 35 = 34 + 3 или замены произведения суммой одинаковых слагаемых: 35 = 3+ 3 + 3 + 3 + 3.
• 2) составление таблицы умножения по постоянному второму множителю (п 3, где п = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Результат находится на основе переместительного свойства умножения и результатов предыдущей таблицы: 35 = 53.
• 3) Составление таблицы деления по постоянному делителю (п: 3, где п = 27, 24, 18, 15, 12, 9). Результат находится на основе взаимосвязи между делением и умножением: 35 = 15, значит, 15: 3 = 5.
• 4) Составление таблицы деления с одинаковым значением частного (п: р = 3, где п = 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27; р = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Результат находится на основе взаимосвязи между делением и умножением: 35 = 15, значит, 15: 5 = 3.

Для запоминания табличных результатов предлагаются упражнения:

• · составь четыре примера на умножение и деление с одинаковыми числами;
• · повтори таблицы по порядку и вразбивку;
• · составь по памяти таблицу умножения 2 и на 2; 3 и на 3 и т.д.;
• · замени число 24 (45, 36, …) произведением;
• · отгадай чило, которое умножили на 7 (5) и получили 56 (45) и др.

Ученики заучивают наизусть только результаты умножения (тройки чисел: 3, 7, 21 и т.д.), результаты деления находят по таблице умножения.

4. Особенности изучения табличного умножения и деления в дидактической системе «Гармония» (Истомина Н.Б. Математика.1-4 класс)

Решая задачу систематичсекого формирования приемов умственной деятельности, большеое внимание уделяется разъяснению смысла произведения, как суммы одинаковых слагаемых и осознанию этой записи. Для этого используются задания вида:

• · найди сходство и различие в выражениях;
• · соотвнеси рисунки и числовые выражения;
• · выбери выражение, соответствующее рисунку;
• · запиши к рисунку выражение с помощью сложения и умножения.

Табличные случаи умножения усваиваются в процессе усвоения понятий «умножение» (смысл умножения), «площадь фигуры», способа вычисления площади прямоугольника, переместительного и сочетательного свойств умножения, отношений «увеличить в несколько раз», «уменьшить в несколько раз». Отдельных тем «Умножение на 2 (3, 4 и т.д.)» нет.

Усвоенные табличные случаи умножения систематизируются в теме «Таблица умножения» в следующей последовательности:

• 1) Во II классе - составление таблицы умножения числа 9 и на 9 с закреплением понятий «смысл умножения» «переместительное свойство умножения», отношения «увеличить в несколько раз». Учащиеся запоминают порции случаев: сначала 95, 96, 97 с опорным случаем 95, потом 92, 93, 94 с опорным случаем 92.
• 2) В III классе составляются таблицы умножения и соответствующих случаев деления с числами 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2.
• 5. Особенности изучения табличного умножения и деления в дидактической системе «Школа 2100» (Петерсон Л.Г. и др. Математика. 1-4 класс)

Система ориентирована на личностное развитие школьников, творческих способностией и мотивов деятельности.

Последовательность изучения темы.

1) Смысл умножения вводится в ходе решения проблемной задачи: «На одну рабашку пришивают 9 пуговиц. Сколько пуговиц надо пришить на 860 рубашек?» Открытие школьников: замена громоздкой записи суммы 860 слагаемых, каждое из которых равно 9, обобщается и переносится на язык букв:

ab = a + a + a + a + … + a

b раз

• 2) Составление таблиц умножения всех однозначных чисел в сравнении первого множителя с множителем первой строки: во второй строке первый множитель на 1 больше, чем в первой, в третьей - на 2, в четвертой - на 3 и т.д.
• 3) Получение полной таблицы умножения и введение мнемического приема её запоминания - таблицы умножения на пальцах.
• 4) Составление и запоминание таблиц умножения на 2 (п 2) на основе счета через 2, таблицы умножения двух (2 п) на основе переместительного свойства умножения.
• 5) Ознакомление с действием деления, установление его взаимосвязи с умножением на основе решения задач с помощью наглядной модели:
• · на подсчет числа элементов в объединении равночисленных неперескающихся множеств
• · на решение обратной задачи - на деления на равные части. Основанием для вывода о взаимосвязи между умножением и делением являются одинаковые рисунки к задачам.
• 6) Ознакомление с делением по содержанию.
• 7) Изучение табличного умножения и деления на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 проводится по плану:
• · повторение ритмичного счета через 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
• · самостоятельное заполнение первого столбика таблицы по памяти (3 п);
• · заполнение для каждой строки соответствующих строк на основании переместительного свойства умножения, взаимосвязи между умножением и делением 3 п, п: 3, п: р = 3);
• 8) Закрепление.

Запоминание таблицы умножения основано на теоретико-множественном подходе и является осознанным, происходит в деятельности.

6. Особенности изучения табличного умножения и деления в дидактической системе Л.В. Занкова (Аргинская И.И. и др. Математика. 1-4 класс)

Основным в обучении является индуктивный путь познания, и в изучении таблицы умножения и деления используются результаты практической деятельности школьников, наблюдений, сравнений, доказательного отбора.

Последовательность изучения темы:

• 1) Умножение как действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых, и деление - как обратное умножению, позволяющее найти неизвестный множитель по известным множителю и значеню произведения.
• 2) Умножение и деление как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число внесколько раз. Деление - действие с помощью котрого можно найти, во сколько раз одно число больше или меньше другого.
• 3) Связь умножения с делением, деления с умножением, законы и свойства умножения и деления.
• 4) Составление таблиц умножения из таблицы сложения выделением сумм, в которых сложение можно заменить умножением. Получение таблицы умножения на 2 (п 2).
• 5) Получение таблиц умножения п 3, п 4, п 5, п 6, п 7, п 8, п 9 путем последовательного увеличения второго множителя в предыдущей таблице на 1 (таблица п 3 получится из п 2, если взять не 2 слагаемых, а 3 и т.д.).
• 6) Составление соответствующих таблиц деления на основе таблиц умножения и взамосвязи между делением и умножением, сравнение их, использование результатов в решении задач на последующих уроках.
• 7. Выводы.

Табличное умножение и деление изучается в течение двух лет в системах «Школа России» (Моро М.И. и др.), «Гармония» (Истомина Н.Б.), в системах «Школа 2100» (Демидова Т.Е.и др.) и системе Л.В. Занкова (Аргинская И.И. и др.) в течение одного года.