Кільця головних ідеалів та евклідові кільця.

Означення. Область цілісності  з  , кожен ідеал якої є головним називається кільцем головних ідеалів.

Приклад. Кільце  цілих чисел є кільцем головних ідеалів. Дійсно, нехай — довільний ідеал кільця . Якщо  то . Тому вважатимемо, що . Тоді .

Внаслідок того, що — підкільце, то . Це означає, в кожному ідеалі є натуральне число. Нехай  – найменше з усіх натуральних чисел ідеалу . За теоремою про ділення з остачею

Згідно з другою умовою з означення ідеалу  , а згідно з першою  . Це означає, що коли було б  то в  існувало б натуральне число  , менше за .Тому і, отже,  . Таким чином,

: ,

тобто ідеал  – головний, .

Означення. Область цілісності  з  називається евклідовим кільцем, якщо всякому її елементу  поставлено у відповідність натуральне число  так, що

причому

Приклад. Кільце  цілих чисел є евклідовим кільцем.

Справді, за теоремою про ділення з остачею

                                                (1)

якщо  то  і значить,

, .

Останні співвідношення можна переписати так:

                                                                                               (2)

Із формул (1) і (2) виходить:

Це означає, що коли кожному ненульовому цілому числу  поставити у відповідність його абсолютну величину, тобто покласти , то кільце  стає евклідовим кільцем.

Теорема 2. Всяке евклідове кільце  є кільцем головних ідеалів.

Доведення. Треба довести, що всякий ідеал  є головним, якщо , то — головний ідеал, породжений нулем. Якщо , то кожному його ненулевому елементові а поставлено у відповідність натуральне число , тобто ідеал  співвіднесений з підмножиною  множини натуральних чисел. В  є найменше число . Інакше кажучи, в  існує елемент  такий, що

Очевидно, що . Покажемо: що і навпаки , звідси випливатиме потрібна рівність .

За означенням евклідового кільця

На підставі другої умови з означення ідеалу , а на підставі першої – елемент . Якби , то , що суперечить вибору елемента . Тому  і, значить, , тобто, . Теорема доведена.

Подільність в областях цілісності з одиницею.

На області цілісності з одиницею вдається розповсюдити багато відомих ефектів теорії подільності в кільці цілих чисел.

Нехай  - область цілісності з 1. Говорять, що елемент  ділиться на елемент , , якщо

Елемент  називають дільником  і записують . Якщо то елементи а, b K називаються дільниками 1кільця K. З рівності виходить, що  і  взаємно обернені. Отже, кожен дільник одиниці має обернений елемент. Навпаки, якщо для елемента  існує обернений елемент , та  і, значить,  - дільник одиниці. В множині цілих чисел дільниками 1 є числа 1 і -1: =(-1) (-1)=1.

Зауважимо, що сукупність усіх дільників 1 утворює мультиплікативну групу. Цю групу дільників називають мультиплікативною групою кільця К.

Справді, якщо і деякі дільники 1,то(  , ): = =1 Тоді

()()=() ()=1*1=1 тобто, - дільник 1.

Виконання аксіом групи очевидне. Відзначимо, що всякий дільник  одиниці є дільником довільного елемента а К, бо

а = а 1=а( = (а )

Елементи а, b  К називається асоційовними, якщо а є дільником b і b – дільником а, тобто, якщо

З цих рівностей виходить, що а = а(dc) і. Значить dc =1, тобто d і c –дільники 1. Таким чином, асоційовні елементи відрізняються тільки дільниками 1.

Елементи а ≠ 0 і з кільця К називається незвідним, якщо він не є дільником 1, і якщо із рівності а = bc (b, c К) випливає, що b або с – дільники 1. Як бачимо, незвідний елемент, дільниками якого, попри дільників 1,є тільки елементи, асоційовні з ним. В кільці цілих чисел дільниками 1 є тільки 1,–1, тому незвідні елементи — це числа, що діляться тільки на себе і на , тобто, це прості числа і ті від’ємні, абсолютні величини яких прості.

Елемент d К називається найбільшим спільним дільником елементів а, b К, d =(a, d), якщо

1. a d, b d

2.  : (

Теорема 1. Для всяких одночасно не рівних нулю елементів а, b із кільця К головних ідеалів існує їх найбільший спільний дільник d  К, який належить ідеалу, породженому елементами а і b, тобто,

,  К: d =а + b

Доведення. Розглянемо ідеал І = { ax + by | x, y  К } породжений елементами а i b. Оскільки кожен ідеал в К є головним, то існує елемент d  І такий, що І=(d). Породжуючий елемент d цього ідеалу І є дільником всякого його елемента.

Відзначимо, що найбільший спільний дільник елементів a, b Î K визначається неоднозначно: якщо d =(a, b), то e d =(a, b), де e – довільний дільник одиниці.

Теорема 2. Якщо р – незвідний елемент кільця головних ідеалів К і елементів a, b Î K є таким, що р/ab, то р/а або р/b.

Доведення. Нехай р не є дільником а, і нехай d =(a, р). Покажемо, що d – дільник 1. Справді, якщо d не був дільником 1, то внаслідок незвідності елемента р подільності р d ми мали б:    р= e d,

де e - деякий дільник 1.Тоді d =р e ^-1 і, в силу подільності а d, а= р(e ^-1, с)(с Î K), що суперечить припущенню а р. Отже, d – дільник 1. d = e.

Оскільки e =(a, р), то за теоремою 1

($ x ₀, y ₀ Î K): e = ax ₀ +р y ₀

Помножимо цю рівність на b, матимемо

e q =(ab) x ₀ +р(y ₀ b).

Оскільки за умовою ab і р, то обидва доданки правої частини діляться на р і, значить, e b і р, тобто $ q Î K: e b = pq або інакше b = р(e ^-1 q), що означає b р.

Таким чином, якщо ab  р і один з співмножників не ділиться на р, то другий обов’язково ділиться на р.

Елементи р₁,р₂,…,р_n такі, що

а= e р₁р₂…р_n                                                                   /2/

причому в двох таких розкладах

а= e р₁р₂…р_n а= e ’ q ₁ q ₂ … q ₃

r = 1 та існуютьтакі дільники одиниці e ₁ e ₂ … e _r,що можливо після перестановки індексів, р_і= e _і q_і (і=1,2,…, r).

Лема 1. В кльці К головних ідеалів не існує нескінченного строго зростаючого ланцюжка ідеалів.

(а ₁)Ì(а₂) Ì … Ì (а_n)Ì…                                 /3/

Доведення. Нехай ми маємо деяку строго зростаючий ланцюжок ідеалів (3) і І=  -обєднання всіх ідеалів цього ланцюжка.

Пересвідчимося в тому, що множина І є ідеалом.

Виконання першої умови з означення ідеалу випливає з того, що коли      a, b Î I, тобто a, b Î , то ($ n, m):(а Î (а_n)) Ç (b Î (а _m)),

Нехай для означеності n m. Тоді (а_n)<(a_m) і, значить, a, b Î (а _m). Оскільки (a_m) – ідеал, то а–b Î (а _m), внаслідок чого а-b Î =І. Якщо, крім того, k Î І

То аk Î (а_n) тобто, виконується і друга умова з означення ідеалу.

Оскільки в кільці К кожен ідеал головний, то ($ c Î I) I =(с).Породжуючий елемент с ідеалу І належить І =  і, значить, в котромусь з ідеалів , c Î (а₁). Тоді І =(с) Ì (а₁), але і І – об’єднання всіх ідеалів (а _і), тому (а₁) Ì І. Із включень І Ì (а₁) і (а₁) Ì І виходить, що І=(а₁), це і означає, що (а₁) – останній ідеал ланцюжка (3), чим лема доведена.

Лема 2. Головні ідеали (a) i (b) кільця К тоді і тільки тоді співпадають коли (a) i (b)асоційовані.

Доведення. Якщо (a) =(b), то а Î (b), b Î (a), внаслідок чого $ k₁, k₂ Î Z: а=bk₁, b= аk₂, що і означає асоційованість елементів a i b.

Навпаки, нехай елементи a i b асоційовані, тобто а= b e, де e - дільник І. Тоді (" а₁ Î (а))($ k ₁ Î К): а= а k₁

Значить, а₁ = b (e k ₁), внаслідок чого а₁ Î (b). Звідси виходить, що (a) Ì (b). Аналогічно (b) Ì (а). Таким чином, (a) =(b).

Будемо допускати, що в роскладі (2) індекс r приймати і значення 0. Тим самим домовимося вважати, що всякий дільник І на розкладі не незвідний елемент.

Теорема 3. (Основна теорема теорії кілець головних ідеалів). Всякий не нульовий елемент кільця К головних ідеалів допускає одночасний розклад на незвідні елементи.

Доведення.

І. Доведемо спочатку, що для кожного елемента із кільця К існує розклад на незвідні елементи, тобто, що кожен елемент із К можна подати у вигляді (2)

Нехай а≠0 – довільний елемент із К. Оскільки деякий дільник І є дільником і елемента а, то а завжди можна подати у вигляді

a = bc (bc Î K)                                          (4)

Якщо із цього подання виходить, що b або с дільники І, то а є або дільником І або незвідним елементом і подання (4) треба розглядати як розклад елемента а на незвідні елементи.

Якщо у формулі (4) b і с – не дільники І, то до них можна застосувати ті ж міркування, які були застосовані до а. В результаті одержимо

b = b ₁ b ₂, с=с₁с₂ (b ₁, b ₂, с₁, с₂ Î К)

і, значить,

а= b ₁ b ₂ с₁с₂

Можливі два випадки: 1) кожен з множників b ₁, b ₂, с₁, с₂ є або, дільником І або незвідним елементом. 2) серед елементів b ₁, b ₂, с₁, с₂ принаймі один не є ні дільником І, ні незвідним елементом. В першому випадку для елемента а справедливий розклад (2), в другому – наші міркування треба застосувати до тих із елементів b ₁, b ₂, с₁, с₂ які не є ні дільниками І ні незвідними елементами.

Міркуючи таким способом дальше, після певного числа кроків дістанемо

а= e а₁а₂…а_n,                                             (5) 

де e - дільник І і а₁,а₂,…,а_n, - не дільники І запровадимо позначення а₁^’=а₂…а_n, а₂^’=а₂…а_n, а_n1^’=а_n.

Тоді а=(e а₁)а₁^’а₁^’=а₂а₂^’а_n^’=а_n-1а_n-1

Внаслідок чого справедливе включення

(а)Ì(а₁ ^’)Ì (а₂ ^’)Ì…Ì (а_n-1^’),                       /6/

Які згідно з лемою 2 є строгими, бо породжуючі елементи цих ідеалів неасоційовані. Якщо в представленні (5) всі елементиа_1, а_2,…..а_n– незвідні, то це означає. Що для а справедливий розклад /2/. Якщо ж декотрі із цих елементів не є незвідними, то процес міркування треба продовжити. Одначе, цей процес може бути нескінченним, тому що тоді строго зростаючий ланцюг /6/ головних ідеалів був би теж нескінченним, що на підставі леми неможливо.

Отже, процес наших міркувань скінченний і після скінченного числа кроків одержимо для елемента а розклад /2/.

ІІ. Доведемо тепер, що розклад кожного елемента а К є однозначним.

Припустимо, що деякий елемент а К має два розклади:

А= ξр₁ р₂… р _{r ,} а= ξ ’ q ₁ q ₂ … q_j

На незвідні множники. Тоді

ξр₁ р₂… р_r= ξ’q₁q₂…q_j

Або інакше (ξ’)^-1 ξр₁ р₂… р _r = q ₁ q ₂ … q_j     /7/

Ліва частина цієї рівності ділиться на р₁, тому і права q ₁ q ₂ … q_r ділиться на р _1. Оскільки р₁ незвідний елемент, то за теоремою 2, яку по індукції можна поширити на довільне скінченне число співмножників, котрийсь із елементів q ₁ q ₂ … q_j ділиться на р ₁. Пронумерувати в разі потреби елементи q ₁ q ₂ … q_j, доб’ємося того, що q ₁ і р₁. Оскільки q ₁ і р₁ – незвідні елементи, то існує дільник одиниці ξ ₁ такий що, q ₁ = ξ₁ р₁

Підставивши одержаний вираз замість q₁ у формулу /7/ і скоротивши на р₁ (на недільники нуля скорочувати можна), матимемо

ξ₁^-1 (ξ’)^-1 ξр₁ р₂… р _r = q ₁ q ₂ … q_j

ліва частина цієї рівності ділиться на р₂. Тоді на р₂ ділиться і права. Провівши ті ж міркування, які були застосовані вище, матимемо

q ₂ = ξ₂р₂, ξ₂^-1ξ₁^-1 (ξ’)^-1 ξр₃… р _r = q ₃ … q_j

якби будо r>1 то після r кроків мали б

ξ₂^-1… ξ₁^-1 (ξ’)^-1ξ= q_{r +1} … q_j

або інакше І = ξ^-’ ξ’ ξ₁… ξ_r q_{r +1} … q_j

ця рівність означає, що незвідні елементи q_{r +1} … q_j є дільники І, а це суперечить їх незвідності. Отже r>І. лема логічно показує, що нерівність І>r теж неможлива. Таким чином І=r і справедливі одержані в процесі доведення рівності

q ₁ = ξ₁ р₁, q ₂ = ξ₂ р₂,… q_r = ξ _r р _r. Теорема доведена.

На закінчення даної теми відзначимо, що в області цілісності з І, яка не є кільцем головних ідеалів, розклад на незвідні елементи може бути неоднозначним.

Наведемо приклад. Легко перевірити, що сукупність z () комплексних чисел виду а+ b  і, де a і b – довільні цілі числа, є областю цілісності з 1. Покажемо, що кожен елемент z ≠0 цього кільця має розклад на незвідні елементи, який може бути і неоднозначним.

З цією метою у відповідність кожному числу z= а+ b  і є z( ), поставимо ціле невід’ємне число N (z)= a ² +3 b ², яке назвемо нормою числа z. Елементарно показується, що

(" z, z₁, z₂ є z( )): (z= z₁ × z₂) Þ N (z) = (N (z₁) × N (z₂))

(Показати самостійно!). Зокрема, якщо 1= z₁ × z₂ (z₁, z₂ є z( )), N (І) = N (z₁) × N (z₂). Оскільки N (1)= N (1+0 )=1, N (z₁)= N (z₂)=1. Якщо z₁= а₁+b₁₁ , то a₁²+3b₁²=1, звідки a ₁ = ± 1, b ₁ =0. Таким чином, дільниками 1 є z( ) є тільки числа 1 і -1.

Можливість розкладу числа z є z( ), z ¹ 0 доведемо методом математичної індукції по нормі

N (z) і якщо z ¹ 0, то N (z) > 0.

При N (z)=1, як показано вище, z ± 1, а за домовленістю дільники 1 мають розклади на незвідні. Припустимо, що твердження вірне для всіх чисел з нормою меншою від m, тобто припустимо, що всі числа При z, для яких N (z) < m, мають розклади на незвідні числа із z( ). Нехай z - довільне число із z( ), норма якого N (z)= m. Число z завжди можна подати у вигляді

z= z₁ × z₂(z₁, z₂ є z( ))                                          /8/.

Якщо із цього подання випливає, що z₁ або z₂ – дільники 1, то за означенням z – незвідний елемент і він має тривіальний розклад на незвідні множники: z= e z (e =1). Якщо ні z₁ ні z₂ – не дільники 1, тобто z₁, z₂= ± 1, то N (z₁), N (z₂) ¹ 1 із представлення N (z) = N (z₁) × N (z₂) випливає, що N (z₁) < m і N (z₂) < m. Тоді за індуктивним припущенням z₁ і z₂ можна розкласти на незвідні множники. Підставивши ці розклади у формулу /8/, одержимо розклад і для елемента z.

Таким чином, кожен елемент із кільця z( ) має розклад на незвідні числа, але не для деякого числа із цього кільця цей розклад однозначний. Наприклад, число 4 є z( ) має такі розклади:

4=2×2, 4=(1+ і)(1- і).                              /9/

В цих розкладах числа 2, 1± і незвідні, бо їх норма дорівнює 2, а 2 не розкладається на нетривіальні множники. Тому і числа 2, 1± і не розкладаються на нетривіальні множники. Зрозуміло, що числа 2, 1+ і, 2, 1- і неасоційовані, бо 2¹(±1)(± і). Отже, розклади /9/ є різними розкладами числа 4.

 §5. Конгруенції та фактор кільця за ідеалом.

1. Конгруенції комутативного кільця К за ідеалам І.

Крім алгебраїчних операцій в кільці К можуть бути введені і деякі інші відношення, зокрема, відношення еквівалентності. З алгебраїчної точки зору інтерес представляють тільки такі відношення еквівалентності, які певним способом узгодженні з операціями, означеними в кільці.

Означення. Говорять, що відношення еквівалентності a ~ b в комутативному кільці К узгоджено з алгебраїчними операціями цього кільця, якщо:

(" a, b, c, d є К):(a~b)Ù(c ~d)Þ(a + c ~ b + d)Ù(ac ~ bd)

Прикладом відношення еквівалентності, узгодженого з операціями кільця, служить відношення конгруентності за модулем ідеалу.

Означення. Говорять, що елементи a, b комутативного кільця конгруентні між собою, за ідеалом І Ì К і за модулем ідеалу І, якщо a - b І, і записується це так:

a º b (modI)

Теорема 1. Відношення конгруентності за ідеалом І кільця К відношенням еквівалентності в К, узгодженим з операціями К.

Доведення. Оскільки кожен ідеал І кільця К є підкільцем, отже, і підгрупою групи цього кільця, то перевірка того, що відношення конгруентності за ідеалом І є відношення еквівалентності. Узгодженим з операцією додавання, приводиться точно так, як і в теорії груп. І тому зараз проводити її не будемо. Покажемо тільки, що коли

a º b (mod I), c º d (mod I),  /1/

то ac º bd (mod I) /2/

з цією метою розглянемо різницю ac – bd

ac-bd=(ac – bd) + (bc – bd) = (a-b)c +b(c-d) /3/

в силу конгруенції /1/ a-b, c-d І. тоді за другою умовою з означення ідеалу (a-b)c, b(c-d) І, внаслідок того, що ідеал є підкільцем (a-b)c +b(c-d) І, що рівносильна конгруенції /2/. Теорема доведена.

Виявляється, що відношення конгруентності за ідеалом І вичерпуються усі відношення еквівалентності, узгодженні з операціями кільця. Точніше справедлива теорема 2.

Теорема 2. Для всякого відношення еквівалентності в кільця К, узгодженого з операціями цього кільця, існує ідеал І такий, що дане відношення еквівалентності є відношення конгруентності за ідеалом І.

Доведення цієї теореми проводити не будемо.

2.Фактор-кільця комутативного кільця за ідеалом І.

Добре відомо, що всяке відношення еквівалентності на множені І породжує розбитя цієї множини на класи, класи еквівалентності. Та відношення конгруентності за модулем ідеалу І в кільці К породжує розбиття кільця К на класи. Ці класи називають суміжними класами або класами елементів. Конгруентних за ідеалом І.

Означення Суміжним класом комутативного кільця К за ідеалом або класу елементів, конгруентних за ідеалом І кільця К називають всякий клас еквівалентності відношенням конгруентності за ідеалом І, тобто. Сукупність С _а усіх елементів кільця К, які конгруентні елементу а К, і значить конгруентні між собою за ідеалом І.

Як уже відзначалося, кожен ідеал І кільця К є підгрупою адитивної групи кільця К і, значить, відношення конгруентної в кільці К за ідеалом І є відношенням конгруентності в адитивній групі кільця К за підгрупою І, а кожен суміжний клас кільця К за ідеалом І є суміжним класом адитивної групи кільця К за підгрупою І. Тому суміжні класи кільця К за ідеалом І мають таку ж структуру, як і суміжні класи адитивної абелевої групи за підгрупою, тобто, справедлива така теорема.

Теорема 3. Всякий суміжний клас С_а комутативного кільця К за ідеалом І можна подати у вигляді С_а = а + І, де а — довільний елемент класу С_а. Навпаки, всяка множина а + І, де а — довільний елемент кільця К, утворює суміжний клас кільця К за ідеалом І.

Нагадаємо, що за означенням

Розглянемо сукупність К / І усіх суміжних класів комутативного кільця К за ідеалом І

Як відомо, у випадку адитивної абелевої групи ця сукупність утворює групу, так звану фактор-групу. У випадку кільця сукупність К/І є кільцем.

Теорема 4. Сукупність К / І усіх суміжних класів комутативного кільця К за ідеалом І є комутативним кільцем. Якщо кільце К містить І, то і кільце К / І містить одиницю.

Кільце К / І називають фактор-кільцем кільця К за ідеалом І.

Доведення. Сукупність К / І можна розглядати як сукупність суміжних класів адитивної групи кільця К за підгрупою І, а така сукупність, як відомо з теорії груп, утворює адитивну абелеву групу, фактор-групу групи К за підгрупою І, причому операція додавання задається формулою:

Тому для завершення доведення теореми треба тільки ввести у множині К / І операцію множення і перевірити, що вона є асоціативною, комутативною і пов’язана з додаванням дистрибутивним законом.

Операцію множення суміжних класів задамо так:

Покажемо, що так означене множення є однозначне, тобто, що за формулою у відповідність суміжним класам а+І та b +І ставиться єдиний суміжний клас ab + І. Неоднозначність може виникнути за рахунок того, що в поданні суміжного класу у виді а+І елемент а є довільним елементом цього класу. Значить, якщо

, то .

Тоді  і щоб множення було однозначним, має бути справедлива рівність .

Доведемо, що це насправді так.

Належності , означають, що

Тоді  звідки виходить, що класи ав+І і а₁в₁+І мають спільний елемент а₁в₁,і тому вони співпадають:

а b +І = а₁ b ₁ +І

Цим однозначність множення доведена.

Асоціативність множення класів випливає із асоціативності множення в К:

.

Аналогічно доводиться комутативність множення класів. Так само аналогічно виводиться дистрибутивність:

.

Якщо в кільці К є одиниця, то, очевидно клас 1+І — одиниця фактор-кільця К / І.