I. Прямоугольный декартов базис.

     Разложение вектора в декартовом базисе

Рассмотрим пространство 0 xyz, т.е. введем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат.

Векторы единичные векторы осей О x, Oy, Oz. Векторы  называются ортами. Поскольку  некомпланарны, то они образуют базис в пространстве, который называют декартовым базисом.

 

Теорема. Любой вектор , заданный в пространстве 0 xyz, может быть представлен в виде

.                                         (3.4)

Такое представление вектора   называется разложением вектора в декартовом базисе или разложением вектора по ортам.

Проекции называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Записывают  или . Каждый вектор имеет единственное представление в виде (3.4) в заданном базисе.

 

II. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)

Пусть даны два вектора      и .

Тогда сумма векторов:

.

Разность векторов:

.

Произведение вектора на число

.

Итак, ,

            .

 

Пример 5.1. . Найти

 

III. Модуль вектора

 

По теореме о длине диагонали параллелепипеда

 или .

модуль вектора .

IV. Расстояние между двумя точками в пространстве

 

Рассмотрим вектор , где

 

Тогда разложение по ортам, где

Расстояние между точками А и В равно .значит

расстояние между точками

Частный случай.

Расстояние между точками на плоскости

, где

 

V. Направляющие косинусы

 

Направление вектора в пространстве определяется углами  которые вектор составляет с осями Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е.  называются направляющими косинусами вектора.

По свойству 1 проекций:

или

Тогда

 

VI. Условие коллинеарности двух векторов

 

Для того, чтобы два вектора      и  были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны

условие коллинераности векторов.

 

Скалярное произведение векторов

I. Определение

Опр. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

.                                   (3.5)

Придадим (3.5) другой вид (по свойству 1 проекций).

проекция на ось, определяемую .

проекция на ось, определяемую .

                                     (3.6)

II. Свойства скалярного произведения

1. Переместительное свойство

Доказательство из определения.

2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя .

3. Распределительное свойство

Пример 6.1. Векторы  и образуют угол  Зная, что  вычислить

Условие ортогональности векторов

По определению . , если  или , или

 т.е.  Пусть  и  – ненулевые векторы. Тогда .

Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Пример 6.2. При каком  векторы  и  ортогональны, если

 Ответ: