Обозначение координат и единичных векторов

 - декартовы координаты;

 - единичные векторы в декартовых координатах;

 - цилиндрические координаты; 

 - единичные векторы в цилиндрических координатах:

 - сферические координаты;

 - единичные векторы в сферических координатах.

 

Обозначения величин

 - векторный потенциал поля;

 - магнитная индукция, Тл;

 - электрическая емкость, Ф;        

 - скорость света (3×10⁸ м/с);

 - электрическое смещение, Кл/м²;

 - напряженность электрического поля, В/м;

 - электродвижущая сила, В;

 - частота, Гц;              

 - напряженность магнитного поля, А/м;

 - сила тока, А;            

 - объемная плотность тока, А/м²;

 - поверхностная плотность тока, А/м;

 - линейная плотность тока, А;  

 - индуктивность, Гн;

 - взаимная индуктивность, Гн;

 -мощность, Вт;       

 - добротность;        

 - объемная плотность заряда, Кл/м³;

 - поверхностная плотность заряда, Кл/м²;

 - линейная плотность заряда, Кл/м;

 - радиус-вектор;

 - текущее значение paдиyca в сферической системе координат;

 - электрическое сопротивление, Ом;     

 - удельное поверхностное сопротивление, Ом;     

 - период, с;

 - время, с;

 - электрическое напряжение, разность потенциалов, В;

 - фазовая скорость электромагнитной волны, м/с;

 - групповая скорость электромагнитной волны, м/с;

 - энергия, Дж;     

 - волновое сопротивление, Ом;    

 - характеристическое сопротивление, Ом;

 - коэффициент затухания, 1/м;

 - коэффициент фазы, 1/м;

 - удельная проводимость, См/м;

 - диэлектрическая проницаемость (относительная);

 - электрическая постоянная (1/120 ), Ф/м;

 - абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м;

 - длина волны, м;

 - длина волны в волноводе, м;

 - магнитная проницаемость (относительная);

 - магнитная постоянная (120 /с), Гн/м;

 - абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м;

 - коэффициент распространения волны, 1/м;

 - вектор Пойнтинга, Вт/м²;

Ф - магнитный поток, Вб;

 - потенциал (скалярный), В;  

 - магнитное потокосцепление, Вб;    

  - круговая частота, рад/с;      

- коэффициенты отражения;

- коэффициенты прохождения.          

 

1. ВЕКТОРЫ

 

Некоторые формулы векторной алгебры

Скалярное произведение векторов  и :

,

где  - угол между направлениями  и .

Векторное произведение векторов  и

где  - единичный вектор нормали к плоскости векторов  и , причем ,  и  образуют «правую тройку» векторов.

В краткой записи

.

Векторное произведение некоммутативно .

Векторно-скалярное (смешанное) произведение ,  и

.

Двойное векторное произведение векторов ,  и  

.

 

Операции векторного анализа

Для математического описания физического состояния точек пространства вводят понятия скалярных и векторных полей.

Одной из характеристик скалярного поля  является градиент () - вектор, показывающий величину и направление наибыстрей­шего возрастания скалярного поля.        

Направление градиента всегда перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности (поверхности равного уровня) и параллельно касательной к силовой линии поля в данной точке.

В декартовой системе координат

.

Дифференциальными характеристиками векторного поля  являются скалярная величина - дивергенция () и векторная величина - ротор (). 

Значение дивергенции равно плотности источников рассматриваемого поля в заданной точки пространства.

Дивергенцию векторного поля  вычисляют путем дифференцирования его проекций по соответствующим координатам.

В декартовой системе координат

,

в цилиндрической системе

,

в сферической системе координат 

.

В декартовой системе координат     

Если =0, то поле является потенциальным. Векторное поле , удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию =0, называется соленоидальным.                             

Соответствующими интегральными характеристиками векторного поля являются поток через замкнутую поверхность и циркуляция вектора .

Потоком вектора  сквозь замкнутую поверхность  называется интеграл вида .

Циркуляцией вектора   по замкнутому контуру  независимо от физического смысла вектора  называется интеграл вида .

Поток и циркуляция - величины скалярные. В частном случае, когда вектор  имеет смысл вектора силы, указанный интеграл выра­жает работу силы по контуру .

Дифференциальные операции со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью оператора Гамильтона . Применительно к скалярному полю ; относительно векторного поля , .

Из дифференциальных операций второго порядка в электродина­мике часто используется оператор Лапласа . Для скалярного поля , для векторного поля .

Оператор Лапласа в различных координатных системах записывает­ся следующим образом:

в декартовой системе

,

в цилиндрической системе

,

в сферической системе координат

.

Графически векторные поля изображают с помощью силовых линий. В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней. Густота силовых линий соответствует интенсивности поля. Дифференциальное уравнение силовых линий в декартовой системе координат имеет вид:

.

Для решения задач векторного анализа часто бывает удобно поль­зоваться формулой Грина ,

теоремой Стокса ,

теоремой Остроградского-Гаусса .

 

Задачи

1.1. Найти сумму и разность двух векторов  и :

; .

Показать, что эти векторы ортогональны.   

1.2. Доказать коллинеарность векторов  и :

; .

1.3. Найти скалярное, векторное произведения и угол между век­торами  и : ; .

1.4. Найти уравнение силовой линии вектора .

1.5. Построить поле радиус-вектора .

1.6. Построить поле вектора .

1.7. Найти уравнение линии вектора .

1.8. Задан потенциал .

Найти градиент этого потенциала. Какую форму будyт иметь эквипотен­циальные поверхности?

1.9. Даны векторы  и :

; .

Найти градиент скалярного произведения этих векторов.

1.10. Подсчитать поток радиус-вектора  сквозь полную поверхность прямого круглого цилиндра радиусом основания , высотой .         

1.11. Найти дивергенцию вектора = , где

, .

1.12. Найти дивергенцию векторного произведения полей  и .

1.13. Найти дивергенцию вектора , где .

1.14. Скалярное поле  задано в декартовой системе координат выражением . Вычислить векторное поле .

1.15. Найти циркуляцию вектора  по окружности .

1.16. Вычислить циркуляцию радиус-вектора по окружности .                     

1.17. Подсчитать циркуляцию вектора         

 по периметру треугольника  с координатами вершин (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0).

(0, 0) (0, 2)                           (2, 0)        (2, 2)                                                        Рис. 1.1

1.18. Задан вектор . Вычислить  по окружности .

1.19. Найти циркуляцию вектора  по контуру . Вычислив поток вектора   через поверхность, ограниченную контуром , убедиться в справедливости теоремы Стокса (рис. 1.1).

1.20. Проверить, каким является поле : соленоидальным или потенциальным?

1.21. Найти ротор вектора .

1.22. Найти дивергенцию ротора вектора  (задача 1.21).

1.23. Задан вектор . Вычислить через замкну­тую поверхность S: .

1.24. Найти дивергенцию вектора

.

Вычислить интеграл , где  - объем куба с ребром, равным единицe длины, и вершиной в начале координат. Определив поток век­тора  через поверхность куба, убедиться в справедливости теоремы Остроградского-Гаусса.                                 

1.25. Вычислить поток радиус-вектора через поверхность сферы радиусом .

1.26. Определить дивергенцию и ротор вектора , характеризуе­мого следующими составляющими в цилиндрической системе координат: ; ; .

1.27. Найти поток вектора  сквозь сферическую по­верхность радиусом . Центр сферы совпадает с точкой .

1.28. Доказать, что . Для доказательства использовать формулу векторной алгебры

.

 

2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ:

ЗАРЯДЫ, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ, ВЕКТОРЫ

 

Электромагнитное поле - это особый вид материи, способный распространяться в вакууме со скоростью света и оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы. Оно представляет собой единство двух составляющих - электрического и магнитного полей. Основ­ными характеристиками электромагнитного поля являются заряды, электрические токи, векторы поля.  

 

Заряды

Объемное распределение зарядов характеризуется объемной плотностью . Размерность =Кл/м³.

­Полный заряд, сосредоточенный в объеме , .

Поверхностное распределение зарядов характеризуется поверх­ностной плотностью заряда . Размерность =Кл/м².

Полный заряд поверхности .

Связь между поверхностной и объемной плотностями зарядов  

,

где  - толщина слоя заряженной поверхности.

Линейное распределение зарядов характеризуется линейной плотностью зарядов . Размерность =Кл/м.

Полный заряд нити .

Полный заряд системы точечных зарядов равен сумме

 

Электрические токи

Движущиеся заряды образуют электрический ток. Сила тока

. Размерность =А.

Элемент тока , где  - вектор скорости движения заряда.

Различают несколько видов распределения токов. Объемное распределе­ние тока характеризуется вектором объемной плотности тока . Размерность = А/м².

Сила тока, протекающего через некоторую поверхность ,

.

Направление вектора  совпадает с направлением движения положи­тельных зарядов.

Рис. 2.1

Поверхностное распределение тока характеризуется вектором по­верхностной плотности тока . Размерность = А/м.

Рис. 2.1

Сила тока, текущего по поверхности (рис. 2.1) , где  - линия, перпендикулярная к линиям то­ка, текущего по поверхности. Линейный ток характеризуется линейной плотностью электрического тока .

Размерность =А.

Сила тока, текущего по нити, равна по величине линейной плотности тока: .

 

Векторы поля

Электромагнитное поле определено, если в каждой точке прост­ранства известны величины и направления четырех векторов:  - нап­ряженности электрического поля,  - электрического смещения (индук­ции), - напряженности магнитного поля,  - магнитной индукции.

Векторы  и  являются функциями только источников поля и не зависят от параметров среды , . Векторы  и  характеризуют силу, с которой поля действуют на заряды. Они зависят от параметров среды: ; . Количественная характеристика электрического поля экспериментально установлена законом Кулона, определяющим силу взаимодействия между точечными зарядами, находящимися в однородной среде: , где  - единичный вектор, направленный от первого заряда ко второму; - cилa, действующая со стороны заряда  на заряд ;  - расстояние между зарядами;  - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; , где  - диэлектрическая проницаемость вакуума;  - относительная диэлектрическая проницаемость среды. Коэффициент  показывает, во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме.

Напряженность электрического поля равна силе, с которой поле действует на единичный положительный точечный заряд, внесенный в это поле.     

Размерность напряженности .  

Напряженность поля точечного заряда .

В каждой точке пространства вектор  поля точечного заряда направлен по прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения. Графи­чески электрическое поле изображают с помощью силовых линий, густо­та которых пропорциональна величине напряженности поля.

Размерность вектора электрического смещения =Кл/м².

Единица измерения магнитной индукции   =Вб/м²=Тл.

Размерность вектора напряженности магнитного поля . Здесь  - абсолютная магнитная проницаемость среды; , где  - относительная магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия между токами в данной среде больше, чем в вакууме;  - магнитная проницаемость вакуума.

Сила взаимодействия между проводниками с током устанавливается законом Ампера  , где сила, действующая со стороны элемента тока  на элемент тока ;   - расстояние между элементами тока.

Одинаково направленные элементы тока притягиваются, а направ­ленные в противоположные стороны - отталкиваются.       

Рис. 2.2

Соотношение  носит название закона Био-Савара.

Вектор магнитной индукции  по величине равен силе, действующей на еди­ничный элемент тока, а его направле­ние перпендикулярно к этой силе и эле­менту тока (рис. 2.2). Векторы ,  и  образуют правую тройку векторов.

 

Задачи

2.1. Шар радиусом  заряжен с объемной плотностью . Hайти полный заряд шара .

Рис. 2.3   Рис. 2.3

2.2. Нить длиной  имеет линейную плотность заряда . Вычислить полный заряд нити  при ; ; .

2.3. Шар радиусом  заряжен с объемной плотностью . Вычислить полный заряд шара .

2.4. Сфера радиусом , имеющая поверхнос­тную плотность заряда , вращается со скоростью  вокруг оси, проходящей через ее центр. Вы­числить поверхностную плотность тока и полный ток I на ее поверхности (рис. 2.3).  

0                                         Рис. 2.4

2.5. Цилиндр радиусом , высотою , имеющий поверхностную плотность заряда , вращается вокруг оси  со скоростью . Вычислить силу тока на боковой поверхности цилиндра.

2.6. Бесконечно тонкий диск радиусом , заряженный с плот­ностью , вращается вокруг оси со скоростью . Вычислить поверхностную плотность тока   и полный ток  на поверхности диска (рис. 2.4).

2.7. Вычислить силу взаимодействия на единицу длины двух параллельных бес­конечных нитей, равномерно заряжен­ных с линейной плотностью  и  и расположенных на расстоянии  в од­нородной среде с диэлектрической проницаемостью .       

а                                                          б                                                                                                                                                                        в                                                          г                                                                                                                                                                                                                                                                  Рис. 2.5

2.8. Сравнить    и  для следующих комбинаций элементов токов (рис. 2.5).

 

Указание: использовать формулу векторной алгебры для двойного векторного произведения .

2.9. Электрон с зарядом = -1,6×10^-19 Кл и массой = =9,11×10^-28 г, летящий вдоль оси  со скоростью = 10⁺⁷ м/с, по­падает в зону, где одновременно существуют электрическое и магнит­ное поля ; =10⁺⁶ В/м; ; =4×10^-2 Bб/м.

Определить направление и величину силы, воздействующей на электрон, и его ускорение.      

2.10. Определить силу взаимодействия на единицу длины двух бесконечных параллельных проводов с токами =2 А и =5 А, про­текающими в одном направлении. Провода находятся в воздухе, рассто­яние между ними d =10 см.    

2.11. Рамка с током = 0,2 А, площадью =10 см², состоя­щая из =50 витков, находится в воздухе в однородном магнитном поле напряженностью =300 кА/м. Угол между нормалью  рамки и  составляет 50 ⁰. Определить момент пары сил, воздействующих на рамку.                                   

2.12. По круглому цилиндрическому проводнику диаметром 4 мм протекает ток  величиной 1,5 А. Провод выполнен из меди. Определить тангенциальную составляющую вектора напряженности электричес­кого поля на поверхности проводника.  

        

3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

 

Классическая теория электромагнетизма основывается на уравне­ниях Максвелла, являющихся обобщением опытных данных, полученных при изучении электромагнитных явлений.