Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики

Область определения и свойства функции

1.1. Найти и построить область определения функций одной переменной.

1) ; 2) ;             3) ;

4) ;    5) ; 6) .

1.2. Установить, является ли функция четной или нечетной.

1) ; 2) ;     3) ;

4) ;     5) ; 6) .

1.3. По заданным функциям  и  построить сложную функцию

Построение графиков функций

1.4. Построить графики функций с помощью геометрических преобразований графиков основных элементарных функций (сдвиг, растяжение и сжатие по осям).

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

 

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) .

.

 

Тема 2. Предел функции. замечательные пределы

 

Вычисление предела

2.1. Вычислить пределы функций при .

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

2.2. Вычислить пределы функций при .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Первый замечательный предел

2.3. Используя первый замечательный предел, вычислить пределы.

ж) ;       з) ;      и) .

Второй замечательный предел

2.4. Используя второй замечательный предел, вычислить пределы.

1) ;     2) ;     3) ;

4) ;      5) ;  6) .

 

 

Тема 3. Непрерывные функции

 

Точки разрыва функции

3.1. Найти точки разрыва функции

Непрерывность функции на отрезке

3.2. Исследовать на непрерывность функцию  на отрезке:   

Характер точек разрыва

3.3. Определить характер точек разрыва функции.

 

 

Тема 4. Производные функции одной переменной

 

Правила и формулы вычисления производных

4.1. Вычислить производные степенных функций.

  4.2. Вычислить производные показательной и логарифмической функций.

1) ; 2) ;    3) ; 4) .

4.3. Вычислить производные тригонометрических функций.

Производные сложных функций

4.4. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций.

1) ; 2) ; 3) ; 

4) ;         5) ;         6) ;

7) ;            8) ;                 9) ;

10) , 1 1) ; 12) .

Производные высших порядков

4.5. Найти производные 2-го порядка функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) y = ;     6) y = e^2x;        7) y = 5^x;           8) y = ln(1+x).

Геометрический смысл производной, уравнение касательной

4.6. Найти уравнение касательной к графику функции , которая образует с осью ОХ угол, равный: 1) ; 2) .

4.7. Составить уравнения касательных к графикам функций в заданной точке.

1) y = x² - 3x + 2               в точке (3;2).

2) y =                        в точке (4;2).

3) y = x² - 5x + 6               в точках пересечения с осью Оx.

Тема 5. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции

 

Экстремум функции

5.1. Определить интервалы монотонности и исследовать на экстремум функции.

1) ; 2)    3) .

Наибольшее и наименьшее значения функции

5.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1)  на отрезке [0;2]; 2)  на отрезке [-3;0];

3)  на отрезке ; 4)  на отрезке .

Исследование функции и построение графика

5.3. Провести полное исследование поведения функции и построить график. 1) ; 2) ; 3) .

5.4*. Поступления от реализации производственной продукции x  выражаются функцией , а затраты, связанные с производством продукции в количестве x, записываются функцией . Определите оптимальный объем производства, обеспечивающий максимум прибыли.

Контрольная работа № 1

« Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Вариант 0

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Вычислить пределы функций.

1) ; 2) ; 3) .

Задача 2. Построить график функции, заданной несколькими аналитическими выражениями

Исследовать функцию на непрерывность в точках  и .

Задача 3. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функций:

1) ;

2) .

Задача 4. Найти значение производной функции  в точке .

 

Задача 5. Найти производные сложных функций:

1) ;

2) .

Задача 6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Задача 7. Найти экстремумы функции . Сделать схематичный чертеж.

Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Задача 9. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .