Корреляционно- регрессионный анализ

Корреляционная (стохастическая) связь – это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений.

Различают парную и множественную корреляцию.

Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой результативным.

Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

 

Парная корреляция

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой:

 

                                                y = a  + a  x,                                               (8.1)

 

     где у– результативный признак;

             х – факторный признак;

             а₀, а₁ – параметры уравнения.

 

    Параметры уравнения находятся путем составления и решения системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

                                                 ,                                           (8.2)

 

     где n – число единиц в совокупности.

 

Теснота связи между результативным и факторным признаками определяется при помощи линейного коэффициента корреляции:

 

                                                  ,                                           (8.3)

 

     где      (9.1.4)   (9.1.5)   (9.1.6)                   

 

(9.1.7) . (9.1.8)

 

 

Коэффициент детерминации (d) рассчитывается по формуле

 

                                                        ,                                           (8.4)

 

     где r – коэффициент корреляции.

 

Для оценки статистической значимости уравнения регрессии используют F-критерий Фишера, фактическое значение которого определяется по формуле:

 

                                              .                                   (8.5)

 

   Табличное значение F-критерия Фишера определяется при уровне значимости и коэффициентах значимости к₁=n-m-1, к₂ = m (где n-число наблюдений, m-число факторов) (приложение А).

 

 

Множественная корреляция

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между результатом и двумя факторам является уравнение прямой:

 

                                             .                                          (8.6)

 

Параметры а₀, а₁, а₂ определяют в результате решения системы трех

 нормальных уравнений:

 

                                                                (8.7)

.

 

Теснота связи между всеми признаками, включенными в модель, может быть определена при помощи коэффициентов множественной корреляции:

 

                                        ,                             (8.8)

 

      где - коэффициенты парной корреляции между х₁,х₂ и Y.

 

; (8.9) ; (8.10)  (8.11)

 

; (8.12) ; (8.13) ; (8.14)

 ;

; (8.15) ; (8.16)   ;(8.17)

;(8.19) ; (8.20) .(8.21)

Коэффициент множественной детерминации определяется по формуле

                                                 .                                            (8.22)

Для оценки значимости полученного коэффициента R используют критерий F–Фишера, фактическое значение которого определяется по формуле

 

                                   ,                                     (8.23)                             

 

       где n – число наблюдений,

               m –число факторов.

 

     F_табл. определяется при заданном уровне значимости (0,05) и числе степеней свободы (к₁=n-m-1 и к₂=m)

     Если F_факт>F_табл., то значение коэффициента R следует признать достоверным, а связь между x₁,x₂ и у – тесной.

Для оценки влияния отдельных факторов и резервов, которые в них заложены, наряду с коэффициентами регрессии и корреляции определяют коэффициенты эластичности, бета-коэффициенты, коэффициенты отдельного определения.

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько % в среднем изменяется результативный признак при изменении факторного на 1% при фиксированном положении другого фактора:

 

                                  .                               (8.24.;8.25)

 

При помощи β-коэффициентов дается оценка различия в степени варьирования вошедших в уравнение факторов. Они показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения (σ_y) изменится результативный признак с изменением соответствующего факторного на величину своего среднего квадратического отклонения (σ_xi):

 

                                          ; .                          (8.26; 8.27)

 

     Наибольшее влияние на результат с учетом вариации оказывает тот фактор, которому соответствует наибольшая абсолютная величина коэффициента.

  Коэффициенты отдельного определения характеризуют долю влияния каждого фактора в их общем суммарном влиянии:

                                            ; .                 (8.28; 8.29)

Задание 8.1.1 Имеются данные по совокупности предприятий за отчетный год:

 

Таблица 14-Исходные данные

№ предприятия	Производительность труда работника, тыс.руб.	Удельный вес оборудования в стоимости основных фондов%	Текучесть кадров,%	Интегральный коэффициент использования рабочего времени
1	3600	39	9,1	0,96
2	2980	29	10,1	0,80
3	3280	34	5,0	0,84
4	3300	36	7,0	0,86
5	3660	47	9,0	0,98
6	3160	28	4,0	0,83
7	3340	32	12,0	0,87
8	3000	29	6,5	0,84
9	3140	33	8,1	0,81
10	3200	28	7,3	0,85
11	3620	40	8,5	0,97
12	3320	34	5,1	0,83
13	4100	52	6,3	0,95
14	2980	28	11,0	0,82
15	3500	37	5,8	0,87
16	4260	53	4,8	0,98
17	2860	25	11,8	0,84
18	2770	27	10,4	0,82
19	4300	59	3,8	0,96
20	4890	60	4,8	0,97

 

Изучите влияние текучести кадров на производительность труда.

 

Задание 8.1.2 На основании таблицы 21 методом корреляционно-регрессионного анализа изучите влияние текучести кадров и интегрального коэффициента использования рабочего времени на производительность труда. Определите коэффициенты корреляции, детерминации, эластичности, отдельного определения.

                         

8.2 Непараметрические методы

Применение корреляционного и регрессионного анализа требует, чтобы все признаки были количественно измеримы. Для изучения взаимосвязи между качественными (атрибутивными) признаками применяются непараметрические методы.

Для изучения взаимосвязи между альтернативными признаками используется коэффициент ассоциации:

                              ,                           (8.30)

где a, b, c, d – частоты признаков.

 

Коэффициент ассоциации изменяется от -1 до +1; чем ближе к +1 или -1, тем теснее связаны между собой изучаемые признаки. Если коэффициент ассоциации не менее 0,3, то это свидетельствует о наличии связи между изучаемыми показателями.

Если по каждому из взаимосвязанных признаков выделяется число групп более двух, то теснота связи может быть определена при помощи показателя взаимной сопряженности А.А. Чупрова:

                                      ,                                    (8.31)

где число возможных значений первой статистической величины     

        (число групп по столбцам);

  - число возможных значений второй статистической величины

        (число групп по строкам);

   показатель взаимной сопряженности (определяется как разность

          между 1 и суммой отношений квадратов частот клетки таблицы

          распределения     к произведению итоговых частот  

          соответствующего столбца и строки).

     

Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова изменяется от 0 до 1, но уже при значении 0,3 можно говорить о тесной связи между вариацией изучаемых признаков.

Задание 8.2.1 Определите взаимосвязь между уровнем образования и удовлетворенностью работой с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции.

 

Таблица 15 – Распределение работников.

 

Образование	Удовлетворены работой	Не удовлетворены работой	Итого
Высшее и среднее специальное	30	5
Среднее	20	25
Итого

Задание 8.2.2Для изучения влияния условий производства на взаимоотношения в коллективе было проведено выборочное обследование 250 рабочих, ответы которых распределились следующим образом

Условия производства	Взаимоотношения в коллективе
	Хорошие	Удовлетворительные	Неудовлетворительные	Итого
Соответствует требованиям	30	20	10
Не полностью соответствует	25	50	15
Не соответствует	10	40	50
Итого

 

Определите взаимосвязь между исследуемыми показателями с помощью коэффициентов взаимной сопряженности.