Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные свойства определителей и их геометрический смысл.
Свойство 1. Если А, В две квадратные матрицы, то .
Свойство 2. При транспонировании определитель не меняется: = . Идея доказательства: в подстановке (где верхняя строка была 1 2 … n), поменять местами 2 строки, затем в верхней строке сделать по порядку. Меняем чётность в обеих строках одно и тоже количество раз.
Свойство 3. Если строка или столбец матрицы состоит из нулей, то . Геометрический смысл: Если в системе векторов есть 0-вектор, то объём параллелепипеда (или S параллелограмма, если n=2) равен 0.
Свойство 4. Если поменять местами любые две строки (или два столбца), то сменит знак. Это связано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке меняется чётность: одна инверсия появится или наоборот, исчезнет. (См. выше доказательство, что транспозиция меняет чётность).
Свойство 5. Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то увеличится в с раз. Идея доказательства: если в каждом произведении элементов один из них умножен на с, то вся сумма, состоящая из таких слагаемых, также увеличится в с раз. Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки. Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент. Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в раз. Для 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на , то объём вырастет в раз. Следствие: 5а) .
Свойство 6. Если матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то . Доказывается из свойства 4: если в матрице две одинаковые строки, то меняя их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен измениться. Тогда = , то есть . Для пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определителя, и строки станут одинаковыми, а тогда . Геометрический смысл. Если два ребра параллелепипеда совпадают или ||, то фигура станет плоской, объём = 0.
Свойство 7. Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов: = + . то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения).
Доказательство проведём для произвольных матриц 2-го порядка. (для n аналогично). = + . действительно: = = . Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.
Свойство 8. Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменится. Доказательство. Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то: = + тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. То есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменится. Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей. Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент . Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж: Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b такая же, как для образованного векторами a, b+2a. Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме. Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 5). Это совершенно разные операции, не надо их путать.
Свойство 9. Если какая-либо строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других строк (столбцов), то . Идея доказательства: Напр., если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.
Лекция 5. 23.11.2020.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-28; просмотров: 74; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.189.188.111 (0.009 с.) |