Нахождение производной высокого порядка.

Если разложить функцию в ряд и рассмотреть слагаемое со степенью n, то можно сравнить его с теоретически полученным видом  и отсюда извлекается информация о значении , причём не требуется вычислять все производные включительно до n порядка, а сразу получаем значение n-й производной в точке. Ведь бывает так, что функция содержит произведение, и там число слагаемых удваивается на каждом шаге, и их уже 1024 для 10-й производной. 

Пример. Найти  для .

 =  =

Здесь нам нужен только коэффициент при степени 10.

. Ответ. .

Нахождение определённого интеграла.

Если функция требует больших трудоёмких подстановок, или многократного интегрирования по частям, можно разложить функцию в ряд, состоящий из степенных функций, и приближённо вычислить.

Пример. Приближённо найти интеграл  с точностью .

 =  =  = =

очевидно, здесь 3 и последующие слагаемые заведомо меньше , и не повлияют на 4-й знак после запятой, поэтому приближённое значение

 = .

Как видим, даже 2-е слагаемое можно было не рассматривать, т.к.

оно меньше, чем .

 

 

Решение дифференциальных уравнений.

Можно представить неизвестную функцию  в виде степенного ряда  и подставить его в дифференциальное уравнение, тогда решение найдётся тоже в виде ряда, т.е. можно знать строение решения, его график и т.д. даже без аналитического выражения этой функции..

Пример 1.  решить с помощью степенных рядов.

 тогда

Из равенства  =  получаем:

, ,  и так далее.

В этом случае все коэффициенты можно последовательно выразить через . А именно, , ,  и т.д.

Тогда  =  здесь видно, что в скобках получилось разложение экспоненты. Итак, . Эту единственную константу можно переобозначить  и получится знакомый вид общего решения такого уравнения: .

 

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение  с помощью степенных рядов.

Решение.

Подставим в уравнение.                  

 =  тогда:

,    , 

, , 

, , 

 ...                   ...

Из этих двух групп равенств можно все чётные коэффициенты выразить через , а все нечётные через . 

,   

, ,...

аналогично, ,  , ,  ,...

Тогда  =

 = .

Впрочем, константы можно переобозначить через  и записать решение в привычном виде .

Ответ. .

 

Ряды Лорана

Ряд вида , то есть содержащий как положительные, так и отрицательные целые степени, называется рядом Лорана.

Совокупность слагаемых с нулевой и положительной степенью называется его правильной частью, а отрицательных - главной частью. 

 правильная часть,   главная часть, её также можно переписать в виде: .

 

Теорема 1.  Область сходимости ряда Лорана есть кольцо вида .

Доказательство. Распишем по отдельности на главную и правильную часть: + .

1. Для правильной части верна теорема Абеля, ведь это обычный степенной ряд. Правильная часть абсолютно сходится в некотором круге .

2. Рассмотрим главную часть ряда Лорана .

Сделаем в ней замену с целью представить через положительные степени и применить теорему Абеля. . тогда для новой переменной  ряд принимает такой вид: . Это степенной ряд, его круг сходимости с центром в 0. То есть, , обозначим , вот и получили .

Итак, область сходимости есть , это кольцо.

 

Крайние случаи: Если  :  круг с выколотой точкой . Это происходит, если в главной части лишь конечное количество слагаемых. Их значение не существует только в самой точке , а в любой точке из её окрестности - существует. Поэтому из области сходимости исключается лишь одна точка.

Если  : внешняя часть некоторого круга . 

 

Пример. Найти кольцо сходимости ряда Лорана: .

Решение. Найдём отдельно по радикальному признаку Коши область сходимости правильной и главной части.

1. Для  получается , т.е.

2. Для  получается , т.е. .

Ответ. Кольцо сходимости: .

 

 

Теорема 2. (о разложении в ряд Лорана).

Пусть  является аналитической в некотором кольце с центром , тогда она представима в виде ряда , причём . 

 

 

Следствие. Коэффициент  ряда Лорана равен вычету функции в точке . .

.

 

Разложение в ряд Лорана с помощью геометрической прогрессии.

Пример. Разложить функцию :  

а) в ряд Лорана в кольце

б) во внешней области

в) в ряд Тейлора в круге .

Во-первых, если центр кольца 0, а точки разрыва  и , то есть 3 области: , , .

Чертёж:

 кольцо, расположенное между двумя точками разрыва, так, чтобы ни одна из них не была внутри кольца.

Разложим на простейшие дроби. Это действие необходимо в любом случае, независимо от того, в каком множестве надо получать разложение в ряд.

 =  =  система: = .

1) Для разложения в ряд Лорана в кольце, надо вынести за скобку иногда константу, а иногда , чтобы всегда получалось что-то меньшее 1.

Из условия  следует   и , то есть в знаменателе можно получать  и , но нельзя  и .

 =  =

теперь в каждом случае получено выражение вида  которое и является суммой геометрической прогрессии, и его можно превратить в бесконечную сумму по формуле .

 =  =

=

 

2) Теперь разложим в ряд во внешней области, которую, впрочем, можно также считать кольцом типа . Здесь  причём автоматически выполнено также и , т.е. надо получать в знаменателях выражения  и , и в итоге в ответе будут только отрицательные степени.

 =  =  =

в данном случае их можно и объединить, т.к. в каждом слагаемом есть одинаковые степени.

 = . В этом ряде Лорана есть только главная часть.

3) Если требуется разложить в ряд в круге, то это получится ряд Тейлора, там наоборот, в обеих дробях надо выносить константу, чтобы было  и  .

 =  =  =

 = .

 

Ряды Фурье

Скалярное произведение функций.  

Вспомним скалярное произведение векторов .

Для функций можно построить обобщение. Если заданы 2 функции , то очевидно, их можно умножить в каждой точке. Затем все эти произведения надо проинтегрировать, так как точек на интервале бесконечное количество. Получается как бы бесконечное количество координат.

Итак, определим скалярное произведение пары функций на интервале по формуле: .

Можно считать, что это верно и на отрезке , ведь две граничные точки не влияют на величину интеграла.

Пример. Найти скалярное произведение  и  на интервале (0,1).

Решение.  =  = .

 

Свойства скалярного произведения, которые легко следуют из свойств линейности интеграла:

,

,

Вспомним, что для векторов есть понятие модуля,

. Аналогичное понятие для функций называется нормой функции:  

.

Очевидно, что этот квадратный корень существует, ведь , а значит и .

Ортогональные функции.

Две функции называются ортогональными на интервале , если , то есть .

Здесь нет такого простого геометрического смысла, как в случае перпендикулярных векторов, для функций ортогональность значит, что произведение функций где-то больше, а где-то меньше нуля так, чтобы эти части компенсировались и уничтожились при интегрировании.

Пример. Доказать, что функции ,  ортогональны на интервале .

 = =  =  = 0.

Пример. Доказать, что функции ,  ортогональны на интервале .

 =  =  =  = 0.

 

 

Замечание. Если одна из функций в произведении тождественно равна 0, то интеграл очевидно, равен 0. Поэтому тождественный 0 это ортогональная всем функция.

 

Ортогональные системы. Если любая пара функций в системе ортогональна, то система называется ортогональной.

 ортогональна, если  для любых .

 

ЛЕКЦИЯ № 11. 17.11.2020