Вычисление определителя разложением по строке или столбцу

 

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

 - разложение определителя по i -той строке.

 - разложение определителя по j- тому столбцу.

 

Пример. Вычислить определитель путем разложения по 1-ой строке и второму столбцу.

Решение.

По первой строке: .

По второму столбцу: .

Определение 15. Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю и вырожденной в противном случае.

Замечание (об обратной матрице). В алгебре матриц нет понятия деления матриц. Для невырожденных матриц существует обратная матрица.

Определение 16. Матрица  называется обратной к матрице А, если  , где Е – единичная матрица.

Теорема о вычислении обратной матрицы. Если А невырожденная () матрица порядка n, то обратная к ней матрица находится по формуле , где – присоединенная (союзная) матрица, то есть транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.

Пример. Найти матрицу, обратную данной, проверить правильность вычисления.

.

1) , следовательно, матрица А – невырожденная.

2) Найдем алгебраические дополнения:

  

 

   

3) Составим обратную матрицу :

Проверим вычисления по формуле :

 

Понятие о ранге матрицы.

Пусть дана матрица А размером :

.

Выберем произвольно в этой матрице k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка . Определитель матрицы будем называть минором k -го порядка матрицы А.

 

Определение 17. Наивысший порядок отличных от нуля миноров называется рангом матрицы. Обозначается ранг матрицы  или .

Пример. Найти ранг матрицы ;

; ; .

При вычислении ранга матрицы переходят от вычисления миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если , то всякий отличный от нуля минор порядка называется базисным минором. Этот метод вычисления ранга матрицы называется методом окаймляющих миноров.

Второй способ основывается на элементарных преобразованиях матрицы. Элементарными преобразованиями называются следующие:

1. перестановка строк (столбцов),

2. умножение строки (столбца) на число, не равное нулю,

3. прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число,

4. вычеркивание нулевых строк (столбцов),

5. вычеркивание строки (столбца), являющегося линейной комбинацией других строк (столбцов).

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Если удастся путем элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидной форме, то ее ранг будет равен числу ее ненулевых строк.

 

При приведении матрицы к трапециевидной форме удобно пользоваться численным методом Гаусса:

 1) переставляя строки, добиваемся, чтобы  и , последнее можно достичь (если в первом столбце нет единиц) путем деления всей строки на . Первую строку называют рабочей, а элемент – ведущим.

2) умножаем первую строку на числа (), где , прибавляем ее соответственно ко второй и т.д. m-ой строке, получаем в 1-ом столбце под   нули.

3) не трогая первой строки, добиваемся, чтобы  и  путем деления всей строки на или путем перестановки строк. Теперь вторая строка стала рабочей, а элемент – ведущим.

4) умножаем вторую строку на числа (), где , прибавляем ее соответственно к третей и т.д. m-ой строке, получаем во 2-ом столбце под   нули.

5) и т.д.

Пример. Найти ранг матрицы .                                                                         Решение.

~ (меняем строки местами)   ~ (первую строку прибавляем ко второй) ~ (первую строку умножаем на (-2) и прибавляем к третьей) ~ (прибавляем ко второй строке третью)   ~ ,

в матрице две ненулевые строки, следовательно, .

Системы линейных уравнений.

П. 1. Основные понятия.

 

Определение 18. Система уравнений вида

 (*)

 называется системой m линейных уравнений с n неизвестными , , …, .

Если все b_i = 0 (i = 1, 2, 3,…, m), то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы. Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

 – матрица системы,  – расширенная матрица системы,

 – столбец свободных членов,  – столбец неизвестных.

Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: .

 

Определение 19. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 20. Система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если решений более одного.

Определение 21. Решением системы (*) называется всякая совокупность чисел , , …, , которая, будучи подставлена в систему (8) вместо неизвестных , , …, , обращает все уравнения системы в тождества.

Элементарные преобразования системы (только над строками):

1. перестановка уравнений,

2. умножение уравнения на число, отличное от нуля,

3. прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на число.

Выполняют элементарные преобразования над расширенной матрицей системы и лишь над строками, так как перестановка столбцов соответствует переобозначению неизвестных.