Элементы математической логики

 

Для анализа сложных событий вводятся понятия логической суммы (дизъюнкции) и логического произведения (конъюнкции) событий.

Суммой событий А и В называют событие С:

 

C = A˅B,                                             (1.18)

 

где ˅ - знак логического суммирования (дизъюнкции).

Событие считается свершившимся, если произошло хотя бы одно из событий А и В или оба вместе.

Произведением событий А и В называют событие С:

 

С = А˄В,                                              (1.19)

 

где ˄ - знак логического произведения (конъюнкции).

Событие С считается свершившимся, если произошло каждое из событий А и В.

Совокупность нескольких событий называется группой событий. Полная группа событий - совокупность событий, хотя бы одно из которых должно произойти. Например, событие А (отказ изделия) и противоположное событие  (безотказность изделия) составляют полную группу событий, так как изделие не может одновременно находиться в неисправном и исправном состоянии. Группа событий считается несовместной, если любые два события этой группы не могут произойти одновременно. Например, если признак (измеряемый параметр) разбит на три диагностических интервала (обрыв, короткое замыкание и нормальное состояние обмотки электрической машины), а события А₁, А₂, А₃ означают появление признака в соответствующем интервале, то указанные события - несовместные. События А и  всегда образуют полную группу несовместных событий.

Вероятность суммы двух событий А и В:

 

Р(А˅B) = Р(А) + Р(В) - Р(А˄В),                          (1.20)

 

где Р(А˄В) - вероятность совместного появления событий А и В.

Для несовместных событий А и В, то

 

Р(А˅B) = Р(А) + Р(В).                           (1.21)

 

Вероятность суммы трёх событий А, В и С:

 

P(A˅B˅С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(А˄В) - Р(В˄С) - Р(С˄А) +

+ Р(А˄В˄С).                                         (1.22)

 

Для несовместных событий А, В и С:

 

Р(А˅B˅С) = Р(А) + Р(В) + P(С).                               (1.23)

 

Если события А, В и С образуют полную группу событий, т.е. хотя бы одно из них обязательно осуществится, то

 

P(A˅B˅С) = 1.                                        (1.24)

 

Для полной группы несовместных событий из условий (1.22) и (1.23) следует:

 

P(A) + P(B) + P(С) = 1.                                 (1.25)

 

В частности, для суммы вероятностей противоположных событий

 

Р(А) + Р() = 1.                                         (1.26)

 

Величина Р(В|А) называется условной вероятностью события В (при условии, что событие А произошло), тогда

 

Р(А˄В) = Р(А) · Р(В|А)                                  (1.27)

или

Р(А˄В) = Р(В) · Р(А|В)                                  (1.28)

 

В теории вероятности более приняты сокращённые обозначения логического произведения событий в виде обычного алгебраического произведения, тогда равенства (1.25) и (1.26) запишутся так:

 

Р(АВ) = Р(А) · Р(В|А) = Р(В) · Р(А|В).                     (1.29)

 

Понятие условной вероятности приводит к условию независимости событий.

Событие В считается независящим от события А, если

 

Р(В|А) = Р(В).                                        (1.30)

 

Несовместные события всегда зависимые, тогда как совместные события могут быть зависимыми или независимыми.

Для независимых событий:

 

Р(АВ) = Р(А)Р(В).                               (1.31)

 

Из соотношений (1.28) и (1.30) вытекает условие Р(А|В) = Р(А), т.е. независимость событий - понятие взаимное.

Для группы из трёх событий:

 

P(ABС) = Р(А)Р(В|А)Р(С|АВ) = Р(В)Р(А|В)Р(С|ВА) =

= P(С)P(A|С)P(B|AС),                                  (1.31)

 

а для независимых событий:

 

P(ABС) = P(A)P(B)P(С).                                 (1.32)

 

Пример. Вероятность безотказной работы двух трансформаторов под нагрузкой Р = 0,9. Какова вероятность того, что не произойдёт одновременный отказ обоих трансформаторов?

Решение. Принимаем: безотказная работа первого трансформатора - событие А, второго трансформатора - событие В. Тогда безотказная работа одного из трансформаторов или обоих вместе есть сумма событий A˅В. Вероятность отсутствия одновременного отказа обоих трансформаторов (сумма событий А и В) при условии независимости отказов определяем по формуле (1.20):

 

Р(А˅B) = 0,9 + 0,9 - 0,9 · 0,9 = 0,99.

 

 

ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Надежность как наука

 

Надежность характеризует качество технического средства.

Качество – совокупность свойств, определяющих пригодность изделия к использованию по назначению и его потребительские свойства.

Надежность – комплексное свойство технического объекта, которое состоит в его способности выполнять заданные функции, сохраняя свои основные характеристики в установленных пределах.

Понятие надежности включает в себя безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохранность.

Предмет надежности – изучение причин, вызывающих отказы объектов, определение закономерностей, которым они подчиняются, разработка способов количественного измерения надежности, методов расчета и испытаний, разработка путей и средств повышения надежности.

Объектом исследования надежности как науки является то или иное техническое средство: отдельная деталь, узел машины, агрегат, машина в целом, изделие и др.

Различают общую теорию надежности и прикладные теории надежности. Общая теория надежности имеет три составляющие:

1. Математическая теория надежности. Определяет математические закономерности, которым подчиняются отказы и методы количественного измерения надежности, а также инженерные расчеты показателей надежности.

2. Статистическая теория надежности. Обработка статистической информации о надежности. Статистические характеристики надежности и закономерности отказов.

3. Физическая теория надежности. Исследование физико-химических процессов, физических причин отказов, влияния старения и прочности материалов на надежность.

Прикладные теории надежности разрабатываются в конкретной области техники применительно к объектам этой области. Например, существует теория надежности систем управления, теория надежности электронных устройств, теория надежности машин и др.

Надежность связана с эффективностью (например, с экономической эффективностью) техники. Недостаточная надежность технического средства имеет следствием:

– снижение производительности из-за простоев вследствие поломок;

– снижение качества результатов использования технического средства из-за ухудшения его технических характеристик вследствие неисправностей;

– затраты на ремонты технического средства;

– потеря регулярности получения результата (например, снижение регулярности перевозок для транспортных средств);

– снижение уровня безопасности использования технического средства.

 

Основные понятия надежности

 

Надежность использует понятие объекта. Объект характеризуется качеством. Надежность является составляющим показателем качества объекта. Чем выше надежность объекта, тем выше его качество.

В процессе эксплуатации объект может находиться в одном из следующих состояний (рисунок 2.1):

1) Исправное состояние – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации.

2) Неисправное состояние – состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической и (или) конструкторской документации.

3) Работоспособное состояние – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации.

4) Неработоспособное состояние – состояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации.

Различают неисправности, не приводящие к отказам (нарушение лакокрасочного покрытия, износ протектора колеса), и неисправности, ведущие к возникновению отказа (трещина металлоконструкции рамы, изгиб лопасти вентилятора системы охлаждения двигателя).

Частным случаем неработоспособного состояния является предельное состояние.

Предельное состояние – состояние, при котором дальнейшая эксплуатация объекта недопустима или нецелесообразна, либо восстановление работоспособного состояния невозможно или нецелесообразно.

Переход объекта в предельное состояние влечет за собой временное или окончательное прекращение эксплуатации объекта, то есть объект должен быть выведен из эксплуатации, направлен в ремонт или списан. Критерии предельного состояния устанавливают в нормативно-технической документации.

Повреждение – это событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении работоспособного состояния.

Отказ – это событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

Восстановление (ремонт) – возвращение объекту работоспособного состояния.

Критерии повреждений и отказов устанавливают в нормативно-технической и (или) конструкторской документации.

 

1 – повреждение; 2 – отказ; 3 – ремонт; 4 – переход в предельное состояние из-за наличия критического дефекта; I – критический дефект; II – значительный дефект; III – малозначительный дефект

Рисунок 2.1 - Схема основных технических состояний

 

Классификация отказов приведена в таблице 2.1.

 

Таблица 2.1 – Классификация отказов

 

Зависимый отказ – отказ, обусловленный другими отказами.

Внезапный отказ – характеризуется резким изменением одного или нескольких заданных параметров объекта. Примером внезапного отказа является нарушение работоспособности системы зажигания или системы питания двигателя.

Постепенный отказ – характеризуется постепенным изменением одного или нескольких заданных параметров объекта. Характерным примером постепенного отказа является нарушение работоспособности тормозов в результате износа фрикционных элементов.

Явный отказ – отказ, обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования при подготовке объекта к применению или в процессе его применения по назначению.

Скрытый отказ – отказ, не обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования, но выявляемый при проведении технического обслуживания или специальными методами диагностики.

В зависимости от способа устранения отказа все объекты разделяют на ремонтируемые (восстанавливаемые) и неремонтируемые (невосстанавливаемые).

К ремонтируемым относят объекты, которые при возникновении отказа ремонтируют и после восстановления работоспособности снова вводят в эксплуатацию.

Неремонтируемые объекты (элементы) после возникновения отказа заменяют. К таким элементам относятся большинство асбестовых и резинотехнических изделий (тормозные накладки, накладки дисков сцепления, прокладки, манжеты), некоторые электротехнические изделия (лампы, предохранители, свечи зажигания), быстроизнашивающиеся и обеспечивающие безопасность эксплуатации детали (вкладыши и пальцы шарниров рулевых тяг, втулки шкворневых соединений). К числу неремонтируемых элементов машин относят также подшипники качения, оси, пальцы, крепежные детали.

Восстановление перечисленных элементов экономически нецелесообразно, так как затраты на ремонт достаточно велики, а обеспечиваемая при этом долговечность значительно ниже, чем у новых деталей.