Краткие теоретические сведения.

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям.

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение уравнения вида y^{( n)} = f(x) может быть найдено последовательным интегрированием.

и т.д.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:                  (1),где p и q – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Уравнение  (2) называется характеристическим уравнением данного уравнения (1). Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через k₁ и k₂.

Общая схема решения ЛОДУ приведена в таблице:

Линейное неоднородное уравнение второго порядка имеет вид: y''+ ρ x+qy = f (x) (3), где f (x) – непрерывная функция, отличная от нуля. Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения  неоднородного уравнения (3) и общего решения y_о соответствующего однородного уравнения (1): .

1) Пусть правая часть имеет вид f (x)= e ^{α x} P_n (x), где P_n (x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде , где Q_n (x) – многочлен той же степени, что и P_n (x) с неопределенными коэффициентами , а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения (2).

2) Пусть правая часть имеет вид и α+β i, (α–β i) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде . Если же α+β i, (α–β i) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде .

Пример 1. Найти общее уравнения y''–y' –2 y =0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение уравнения имеет вид y = C ₁ e^-x + C ₂ e ^{2 x} .

Пример 2. Найти общее решение уравнения y'' –2 y' + y =0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение уравнения имеет вид y = e^x (C ₁+ C ₂ x).

Пример 3.  Найти общее решение уравнения y'' –4 y' +13 y =0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение уравнения имеет вид y = e ^{2 x} (C ₁ cos3 x + C ₂sin3 x).

Пример 4. Найти общее решение уравнения y'' –2 y'+y = x ²+1.

Решение.

1. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y_o = e^x (C ₁+ C ₂ x) (см. пример 2).

2. Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (e ^{α x} =0, α=0), то частное решение ищем в виде , где А, В, С – неизвестные коэффициенты.

3. Дифференцируем дважды

Подставляем в данное уравнение, находим

2 A– 4 Ax– 2 B+Ax ² +Bx+C=x ² + 1,

Ax ² + (B– 4 A) x+ 2 A– 2 B+C=x ² + 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем

А =1,

В -4 А =0,

2 А -2 В + С =1,

Находим А =1, В =4, С =7.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение - .

Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y _o = C ₁ e^x + C ₂ e ^{–2 x} (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e ^{α x} при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде =A ∙ e ^{2 x} .

Дифференцируя дважды и подставляя в уравнение получаем:

Частное решение данного уравнения и общее решение запишется в виде

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у.

.

Подставляем начальные условия в у и у', находим С ₁ и С ₂:

.
Подставляя найденные значения С ₁ и С ₂ в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения

.

  Пример 6.  Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение k ²+1=0 имеет корни k ₁= i, k ₂=- i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = C ₁cos x + C ₂sin x. В правой части тригонометрическая функция то есть a =0, b =1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: . Дифференцируя дважды и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим , откуда , т.е. частное решение , а общее решение уравнения: .

Пример 7.  Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Понижаем степень уравнения до первого порядка

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

 .

Ответ: общее решение:

Задания для совместного решения.

		Ответ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Задания для самостоятельного решения.

	Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.	Найти общее решение дифференциального уравнения:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Занятие 11. Случайные величины