Краткие теоретические сведения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решением дифференциального уравнения. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

       Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале a < x < b. В таком случае все решения дифференциального уравнения вида y’ = f(x). находятся как . Если заданы начальные условия х₀ и у₀, то можно определить постоянную С.

       Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде  (1).

       Такое уравнение можно представить также в виде:

(2)

Для решения такого уравнения необходимо:

для вида (1)

1. выполнить замену ,
2. домножить обе части уравнения на dx,
3. разделить уравнение на .

Для вида (2)

1. перенести слагаемое с dy в правую часть уравнения
2. разделить обе части уравнения на .

В итоге получится уравнение вида  решение которого находится путем интегрирования обеих частей. После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:  при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b. Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения может быть применен метод Бернулли. (Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций . При этом очевидно, что  . Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Потребуем чтобы

Сначала решается уравнение (1) как уравнение с разделяющимися переменными, при его решении константа С=0, затем найденное решение  подставляется в уравнение (2) и находится его решение . В итоге находится значение искомой функции .

Пример.

1. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2. Найти решение дифференциального уравнения  при условии у(2) = 1.

Решение:

.

При у(2) = 1 получаем

Итого:    или  - частное решение;

Ответ:

3. Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным урвнением первого порядка. Применим метод Бернулли.

. Подставим в данное уравнение:

(1)                                                                  (2) 

Получаем: - общее решение.

Ответ:

Задания для совместного решения.

		Ответ:
1.
2.		или
3.
4.	,
5.

Задания для самостоятельного решения.

	Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:	Найти общее решение дифференциального уравнения:	Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:	Найти общее решение дифференциального уравнения:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Занятие 10. Дифференциальные уравнения второго порядка