Применение определителей к геометрическим задачам.

Вывод уравнения прямой по точке и направляющему вектору.

Пусть задана точка  с координатами  и направляющий вектор  с координатами . Поставим произвольную точку  на прямой. Тогда система векторов  и  является линейно-зависимой, значит, определитель равен 0: 

 

Координаты векторов  и  пропорциональны.

Пропорция   называется «каноническое уравнение прямой».

Задача 25. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) параллельно вектору (3,4).

Решение.

. Ответ. .

 

Вывод уравнения плоскости по точке и двум направляющим.

Пусть даны точка  и 2 направляющих вектора  ими однозначно порождается некоторый параллелограмм, а следовательно и плоскость. Обозначим координаты направляющих, например, так:  и .

Возьмём произвольную точку . Если она принадлежит плоскости, то вектор  (показан красным цветом) будет лежать в плоскости, то есть тройка векторов ,  образует линейно-зависимую систему (ЛЗС).

Тогда определитель равен 0:

Вычисляя этот определитель, мы получим в качестве результата некоторое уравнение, содержащее x,y,z. Если начальная точка (0,0,0), то уравнение будет вычисляться с помощью такого определителя: .

Задача 26. Построить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно 2 направляющим (1,2,3) и (1,1,1). 

Решение. . Можем разложить по первой строке:  = .

Для удобства, чтобы 1-й коэффициент был положителен, можно домножить на . Ответ: .

Замечание. Векторы  можно поменять местами, и это не влияет на уравнение плоскости. Неважно, какой из них считается первым, а какой вторым. Если все миноры сменят знак, то из уравнения просто можно будет вынести коэффициент .

 

 

Практика 7.

Задача 27.  Построить уравнение плоскости по точке  и двум  направляющим векторам (4,2,3) и .

Решение. Вектор  принадлежит плоскости, тогда 3 вектора, а именно , (4,2,3) и  образуют ЛЗС.

 =  = .

Из этого следует .

Уравнение можно сократить на 3, и получается .

Ответ. .

Задача 28. Определитель порядка 5.

 

Обратная матрица.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)^i+j, где i,j - номера строки и столбца.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Задача 29. Найти обратную матрицу для .

Решение. 1). Проверяем определитель , так что обратная матрица существует.

2) Составляем матрицу из дополняющих миноров, то есть для каждой клетки вычёркиваем строку и столбец, остаётся подматрица порядка 1, то есть то число, которое напротив, как раз и является дополняющим минором. Получаем .

3) В шахматном порядке меняем знак там, где i+j нечётное.

Тем самым, мы переходим от  к . Получили .

4) Транспонируем эту матрицу. . 

5) Определитель был равен 1. Делить на 1 не обязательно, можно автоматически считать, что уже и так разделили.
Ответ. .

Проверка:  =  = .

* Есть второй способ - с помощью элементарных преобразований. Если матрицу А привести к виду Е, то при синхронно выполненных элементарных преобразованиях на месте Е будет обратная.

Задача 30. Найти обратную матрицу для .

 

(из 2 строки вычли утроенную 1-ю, получили треугольную матрицу)

 (к 1-й строке прибавили 2-ю, получили диагональную матрицу)

 (поделили 2-ю строку на ).

Слева получили Е, справа А^-1.

 

Задача 31. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала ищем определитель. Так как матрица треугольная, то достаточно перемножить числа по диагонали. .

Строим матрицу, состоящую из дополняющих миноров.

Зачёркиваем ту строку и тот столбец, где находится элемент, и остаётся минор 2 порядка из 4 элементов.

На схеме показано, что именно надо зачеркнуть:

=  = .

Теперь надо сменить знаки в шахматном порядке, т.е. переходим от миноров к алгебраическим дополнениям. Обведено красным, где надо менять знак. Ясно, что 0 остаётся 0, там знак менять нет смысла.

Получили: = .

Транспонируем эту матрицу, то есть бывшие строки запишем по столбцам.

= . И осталось разделить на .

Ответ. .

Задача 32. Найти обратную матрицу .   

Решение. Найдём определитель

.

Найдём матрицу из дополняющих миноров к каждой из 9 клеток.

=  = .

Меняем знаки в шахматном порядке, то есть там, где i+j нечётное.

= .  

Затем транспонируем эту матрицу.

= . Осталось только разделить на .

Ответ. .

Задача 33. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала находим определитель.

.

Найдём матрицу из дополняющих миноров.

=  = .

Меняем знаки в шахматном порядке, там, где i+j нечётное.

= .  

Затем транспонируем эту матрицу.

= . Затем делим на .

Ответ.  = .

Задача 34. Матричным методом решить систему уравнений:  

Решение. Запишем систему в виде: .

Обратите внимание, что основная матрица системы это та самая матрица, для которой мы нашли обратную в прошлой задаче.

Если у нас есть равенство , то , тогда .

 =  = .

Ответ. =1, =1, =0.

 

* Матричные уравнения. Пусть А - квадратная матрица ,   - матрицы размера  (чаще всего в таких задачах , то есть все рассматриваемые матрицы квадратные), причём  - неизвестная матрица. Тогда определено умножение . Матрицу  таким образом. Домножим всё равенство слева на обратную матрицу : . Тогда , то есть .

 

Задача 35. Решить матричное уравнение , где .

Решение. Требуется найти   , заметим, что матрица А тут в точности такая, для которой мы искали обратную в прошлой задаче.

Так, можно использовать .

 =  = .

Ответ. . Проверка. = .

Задача 36. Решить матричное уравнение .

Решение.  (было решено ранее).

Тогда  =  = .

Ответ. .