Площадь треугольника и четырехугольника

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой полу произведения смежных сторон треугольника на синус угла между ними. В таком случае возьмем некоторый ΔАВС; АВ=|b – a|, AC=|c – a| и получаем:

 

 

Теперь для нахождения площади четырехугольника воспользуемся формулой, в которой нам также понадобится синус угла – полу произведение диагоналей четырехугольника на синус угла между ними. Возьмем четырехугольник ABCD, в котором точки A, B, C, D имеют соответствующие координаты a, b, c, d. Длины диагоналей – AB=|b – a|, CD=|d – c|. Получаем:

 

 

Подобие треугольников и равенство треугольников

Рассмотрим критерии подобия первого признака подобия треугольников. Пусть имеем некоторые ΔABC и ΔA₁B₁C₁, они являются подобными тогда и только тогда, когда A₁B₁=k×AB, A₁ C₁=k×AC и ےBAC=ےB₁A₁C₁. Преобразуем данные равенства, используя алгебру комплексных чисел, если точки А, В, С, А₁, В₁, С₁ имеют соответственные координаты a, b, c, a₁, b₁, c₁:

 

Приводим к единому тождеству:

 

В итоге получаем постоянное отношение, выраженное комплексным числом:

 

 Однако нельзя сказать, что данное отношение является коэффициентом подобия, так как оно может являться комплексным числом, очевидно, отношение сторон двух треугольников комплексным числом не является. Это некий комплексный коэффициент подобия, который указывает отношение только применимо к комплексному методу решения задач. Однако его модуль является коэффициентом подобия. Это приводит к некоторым сложностям, поскольку, зная только коэффициент подобия, мы не можем узнать это комплексное число. Но в большинстве случаев это не помешает решению.

Если треугольники на комплексной плоскости противоположно ориентированы, то можно избежать переобозначений и движений одного из треугольников. Для этого достаточно видоизменить формулу таким образом:

 

Равенство треугольников можно рассматривать как частный случай подобия треугольников, когда комплексное число соответствующее коэффициенту подобия равно 1: то есть необходимо выполнение условия c₁ – a₁ = c – a, b₁ – a₁ = b – a, c₁ – b₁ = c – b (в заданных обозначениях).

 

Правильные многоугольники

Данный аспект частично рассматривается в курсе алгебры за 10-11 класс. Построение правильного многоугольника тесно связано с нахождением корня n-ой степени из комплексного числа. Поскольку данная тема затрагивается в процессе изучения школьного курса, то не будем выводить формулу для нахождения корней из числа. Эта формула выглядит так:

 

На рис. 4 изображен правильный пятиугольник, вершинами которого являются корни пятой степени из единицы. Для построения многоугольника необходимо найти все комплексные корни.

 

 

 

                                     

                                        Рис. 4

При решении задач с правильными многоугольниками бывает удобно поместить центр многоугольника в начало координат, одну из его вершин в точку (1;0).

 

 

Примеры решения задач

Задача 4.1

Точка D симметрична центру описанной около треугольника АВС окружности, относительно АВ. Доказать, что CD = R² + AC² + BC² – AB².

    Решение: примем точку О за точку начала координат, тогда уравнение этой окружности: z×z=R². AOBD – ромб, так как расстояния от О до АВ и от D до АВ равны, OD перпендикулярен АВ. Но тогда OA + OB = OD, а через комплексные координаты а+b=d. Тогда получаем, что:

            

 

Рис. 5

                                          Но:

 

 

                                                                                             

Получается, что левая и правая части равны одному и тому же, следовательно, они равны между собой.    Что и требовалось доказать.

Задача 4.2

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат вне треугольника, найти расстояние от вершины С до центра квадрата, если ВС и АС соответственно равны а и b.                         

Решение: для начала вспомним о геометрическом смысле произведения комплексных чисел. То есть, если мы b умножим на а, то получим поворот b на arg a. Получается, что а выступает в роли параметра, тогда если угол поворота равен 90⁰, т.к. такой угол соответствует чисто мнимому числу, то а=i.

 Теперь совершив основные приготовления, приступим к решению самой задачи.

Пусть С является точкой начала координат, СА и СВ действительная и мнимая соответственно, т. е. А(b) и B(ai). Заметим, что BQ при повороте на 90⁰ переходит в QA. Тогда, воспользовавшись ранее рассмотренным случаем, заключаем, что (ai –q)i=b – q, выделяем q и получаем:

 

Задача 4.3

 

Дан произвольный четырехугольник, не являющийся трапецией. Прямая соединяет середины противоположных сторон четырехугольника и образует с двумя другими его сторонами равные углы. Доказать, что эти прямые, составляющие равный угол с данной прямой, равны между собой.

Решение: N и M – середины AD и BC. Углы между AB и MN и между CD и MN равны. Переходим к векторным величинам и выражаем их через комплексные координаты. Выражаем углы, используя алгебру комплексных чисел, так как эти углы равны по условию, то получаем:

 

Переносим в левую часть и приравниваем к нулю. Из того, что аргумент равен 0, следует, что данное число является действительным. M и N делят противоположные стороны четырехугольника пополам, в методе комплексных чисел это значит, что:

То есть: 

 

Для удобства обозначим b – a = p, c – d = q, тогда подставляя в полученное выражение, исходя из критерия принадлежности числа к множеству действительных чисел и используя свойства комплексно сопряженных чисел, имеем:

                                или

 

Но по условию четырехугольник не трапеция, следовательно, AB не параллельно CD, следовательно, вторая скобка не может обратиться в 0. Тогда первая скобка обращается в 0, но отсюда следует, что AB=CD, ч.т.д.

 

Задача 4.4

Два треугольника ΔABC и ΔA₁B₁C₁ подобны. МА₀, МВ₀, МС₀ соответственно равны АА₁, ВВ₁, СС₁, причем точка М – произвольная. Доказать, что ΔА₀В₀С₀ подобен данным.

Решение: Возьмем за точку M начало координат. Тогда m=0. Следовательно a₀ = a₁ – a, b₀ = b₁ – b, c₀ = c₁ – c. Отсюда получаем, что b₀ – a₀ = b₁ – a₁ – (b – a), c₀ – a₀ = c₁ – a₁ – (c – a).

 

Разделим на b – a и c – a соответственно:

 

Но по условию выражения в правых частях выражений равны, из чего следует, что:

 

 

Это означает подобие первого и третьего треугольников, очевидно, что в таком случае все эти треугольники подобны между собой.