Модуль комплексного числа и тригонометрическая формула

Модулем комплексного числа, также как и действительного является расстояние от нуля до координаты соответствующей этому числу. Только, если для действительных чисел это отрезок числовой прямой, то для комплексных чисел этим расстоянием служит радиус-вектор. На рис. 1 изображен радиус-вектор ОМ, длина которого равна r. Эта длина и является модулем числа z. Тогда по теореме Пифагора находим, что:

                     .

Так как треугольник ОМХ (ОМУ) прямоугольный, то для него справедливы тригонометрические соотношения. Отсюда получаем, что х = r × cosφ, y = r × sinφ.

В таком случае число z принимает вид: z = r × (cosφ + i × sinφ).

Комплексно сопряженные числа

Комплексно сопряженными называются числа, коэффициенты при мнимых частях отличаются знаком. Комплексные координаты таких точек в плоскости комплексных чисел симметричны относительно действительной оси.

Число равно своему сопряженному тогда и только тогда, когда коэффициент при мнимой части равен 0, но в таком случае это число является действительным. Тогда условие z=z является критерием принадлежности числа к действительным. Аналогично, если z =-z, то число принадлежит к чисто мнимым.

Комплексно сопряженные числа обладают некоторыми полезными свойствами:

 

(Справедливо для всех комплексных чисел)

Основы метода комплексных чисел

Векторная интерпретация комплексных чисел и действия над ними

В этом подразделе мы подробнее разберем взаимосвязь между векторами и комплексными числами (вернее их координатами). Непосредственно на этом и основывается наш способ решения задач.

Каждой комплексной координате однозначно соответствует радиус-вектор – модуль конкретного числа.

Сложению и вычитанию комплексных чисел в алгебраической форме однозначно отвечает сложение и вычитание соответствующих векторов. То есть, пусть a, b, c – комплексные координаты точек A, B и C, и если выполняется равенство c = a+b, то также выполняется векторное равенство ОС = ОА + ОВ, если допустим с = a – b, то аналогично ОС = ОА – ОВ.

Теперь стоит поговорить о геометрическом смысле умножения комплексных чисел. На рисунке 2 изображены точки А, В и С с комплексными координатами а, b и ab соответственно. Представим числа а и b в тригонометрической форме. Тогда их произведение примет вид:

 

Геометрически это означает, что тоска С является образом точки А в композиции поворота с центром в точке О на угол равный arg b и гомотетии с тем же центром с коэффициентом k = |b|.

 

              

            Рис. 2