Геометрический, механический смысл производной.

Введем понятие касательной к графику функции в данной точке.

Определение 4. Касательной к графику функции  в точке M называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке M по кривой.

Пусть точка M на кривой соответствует значению аргумента x=0, а точка N и значению аргумента (Рис. 1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x0 необходимо, чтобы существовал предел  равный углу наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника MNA видно, что

 

Если производная функции в точке существует, то, согласно определению производной, получаем

 

 

 

 

      Рис. 1.

Отсюда понятно, что производная  равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ox касательной к графику функции в точке ). В этом состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

3. Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону,  где s икс пройден путь, t икс время. Необходимо найти скорость точки в момент t0. К моменту t0 пройденный путь равен , а к моменту вклада путь  . Средняя скорость за время равна .

Тогда предел определяет мгновенную скорость точки в момент времени t=0, как производную пути по времени.

В определенном смысле производную функции  можно трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина  , тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график и быстрее растет функция. В этом состоит механический смысл производной.

 

Дифференцируемость функции.

Установим связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Прежде всего, отметим, что не любая непрерывная функция дифференцирована. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть, например, функцию  . В точке эта функция непрерывна, но не является дифференцированной (не существует производной, потому что не существует касательной).

Теорема 1. Если существует конечная производная функции  в точке x, то f(x) непрерывная в этой точке.

Доказательство. По условию теоремы, существует производная

а по определению предела это означает, что

где a бесконечно мала функция . Тогда,, где , де  бесконечно имела величина более высокого порядка малости по сравнению с.  Из последнего равенства получается, что,  а это значит, что  непрерывна в точке x.

Непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором интервале (a,b), то функция называется гладкой на этом промежутке. Если производная функции имеет конечное число точек разрыва первого рода, то такая функция называется кусочно-гладкой на данном интервале.

На рис. 2 приведена графическая иллюстрация некоторых возможных значений производной функции в точке x=0.