Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Часто практике соответствует схема независимых испытаний Бернулли: проводятся испытания, в которых вероятность появления события («успеха») одна и та же, а исходы независимы друг от друга.

Задача: определить вероятность того, что при испытаниях событие произойдет раз (не произойдет раз). При этом не требуется, чтобы событие повторялось ровно раз в определенной последовательности. Например, при  один «успех» может быть реализован следующим образом . (Противоположным событию  называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие ).

Для общего случая вероятность  «успехов» из  испытаний равна

 где C_n (k)- число сочетаний из  по ,

Пример. Вероятность того, что операционные расходы фирмы в течение 1 месяца не превысят установленный бюджет, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 месяцев операционные расходы в течение 4-х месяцев из них не превысят норму.

7. Предельные теоремы в схеме Бернулли (локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа).

Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли (14.16) при больших значениях п и к представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следую­щей локальной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. То­гда вероятность Р_п(к) того, что событие А появится в п испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функ­ции φ(х):

Точность формулы (14.17) возрастает с увеличением п. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ {х) (см. Приложение 1. В.Е. Гмурман. ТВ и МС)), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. По­скольку функция φ (х) четная, то в таблицах даются ее зна­чения только для положительных значений x; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (14.17) носит название асимптотической формулы.

Пример 4. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изде­лий будет ровно 60 изделий без брака.

Решение. Вероятность появления события А в одном ис­пытании (изделие без брака) р = 0,7, тогда q = 0,3; в нашем случае п = 100, к = 60. Последовательно вычисляем:

Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ (х); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (14.17) дает приближенное значение искомой вероятности:

Интегральная теорема Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности события А в п испытаниях, когда к изменяется в заданном интервале значений: l < к < m. Соот­ветствующую вероятность обозначают Р_п(l,т). Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавливается следующей интегральной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 14.8. Пусть вероятность р наступления собы­тия А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в п ис­пытаниях от l до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

Формула (14.18), как и (14.17), применима в случае больших значений п и к. При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами для интеграла поскольку соответствующий неопределенный интеграл не вы­ражается через элементарные функции. Функцию Ф(x) часто называют интегралом ошибок, соответствующая таблица ее значений приведена в Приложении 2. Эта функция является нечетной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф (x) для положительных значений верхнего предела интегриро­вания х. Более удобно использовать формулу (14.18) в виде формулы Ньютона-Лейбница: