Набор символов, используемый для обозначения цифр, называется алфавитом.

 

Так, например, алфавит двоичной системы счисления содержит всего два символа: 0 и 1, а алфавит шестнадцатеричной системы - 16 символов: десять арабских цифр и шесть латинских букв (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

 

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить в следующем виде:

 

Np=±(ak−1⋅pk−1+ak−2⋅pk−2+...+a0⋅p0+a−1⋅p−1+...+a−m⋅p−m)

 

Такой вид записи числа называют развернутой формой записи числа,

 

где р - основание системы счисления;

ai - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

k - количество разрядов в целой части числа;

m - количество разрядов в дробной части числа.

 

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

- положительные значения индексов - для целой части числа;

- отрицательные значения индексов - для дробной части числа.

 

Свернутой формой записи числа называется запись в виде:

 

N=(ak−1ak−2...a1a0,a−1a−2...a−m)p

 

Например:

- при р =10 в записи числа 2466,67510 в десятичной системе счисления k=3, m=3;

- при р =2 в записи числа 1011,112 в двоичной системе k=3, m=2.

 

Свернутой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни, ее называют естественной илицифровой.

 

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число (например, 5, 21, 37). Во избежание путаницы справа от числа нижним индексом приписывают основание: 1011012, 3678, 3B8A16, 3AO37.

 

Десятичная система счисления

Основание: p=10.
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

 

Десятичная система счисления наиболее распространенная система счисления в мире. Используется при повседневном счете. Для записи чисел используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

 

Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Пример:

765,34510=7⋅102+6⋅101+5⋅100+3⋅10−1+4⋅10−2+5⋅10−3

Двоичная система счисления

Основание: p=2.

Алфавит: 0,1.

 

Двоичную систему счисления широко применяют в вычислительной технике. К ее достоинствам относятся:

- возможность использования наиболее простой элементной базы микроэлектроники - всего с двумя устойчивыми состояниями;

- возможность использования аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

- возможность использования простейших правил арифметики.

 

Основной недостаток двоичной системы - быстрый рост количества разрядов, необходимых для записи чисел. По этой, а также по некоторым другим причинам в вычислительной технике, кроме двоичной, применяются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

 

Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 2), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Пример:

1011,012=1⋅23+0⋅22+1⋅21+1⋅20+0⋅2−1+1⋅2−2

Восьмеричная система счисления

Основание: p=8.
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7.

 

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады (группы по 3 разряда) двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

 

Число в восьмеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 8), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Пример:

567,128=5⋅82+6⋅81+7⋅80+1⋅8−1+2⋅8−2

Шестнадцатеричная система счисления

Основание: p=16.
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

 

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1,...,9. Для записи остальных цифр (10,11,12,13,14 и 15) обычно используются первые шесть букв латинского алфавита.

 

Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.

 

Число в шестнадцатеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 16), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Пример:

10FC16=1⋅163+0⋅162+F⋅161+C⋅160

Помимо рассмотренных выше позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
- троичная (0,1,2);

- пятеричная (0,1,2,3,4)

- двенадцатеричная (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B)

- тринадцатеричная (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C).

 

В системах счисления с основанием больше 10 для представления чисел после цифр 0,1,2,…,9используют латинские буквы в алфавитном порядке: А (10), В (11), С (12) и т. д.

 

Пример:

1) Представим двоичное число 10110,1012 в виде суммы слагаемых, а затем произведем их сложение:

10110,1012=1⋅24+0⋅23+1⋅22+1⋅21+0⋅20+1⋅2−1+0⋅2−2+1⋅2−3==16+0+4+2+0+0,5+0+0,125=22,62510

Таким образом, 10110,1012=22,62510

2) Представим шестнадцатеричное число 5D8,AC16 в виде суммы слагаемых, а затем произведем их сложение:

5D8,AC16=5⋅162+13⋅161+8⋅160+10⋅16−1+12⋅16−2=1280+208+8+0,625+0,046875=1496,67187510

Таким образом, 5D8,AC16=1496,67187510

3) Вы­чис­ли­м сумму чисел 2F16, 2324 и 538, пред­ставив ре­зуль­тат в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.

Пе­ре­ве­дем все числа в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния, и сло­жим их:

2F16=2⋅161+15⋅160=32+15=4710

2324=2⋅42+3⋅41+2⋅40=32+12+2=4610

538=5⋅81+3⋅80=40+3=4310

4710+4610+4310=13610

Таким образом, 2F16+2324+538=13610