Первообразная функции и неопределенный интеграл

В §1 мы рассматривали задачи, приведшие к появлению дифференциального исчисления, и говорили о том, что зная выражение некоторой функции, можно найти скорость ее изменения. Часто в математике и ее приложениях требуется решить обратную задачу: по известной производной найти функцию, от которой она была взята. Такую задачу, например, представляет нахождение закона изменения координаты тела с течением времени по известному закону изменения скорости этого тела. Зная, что скорость есть производная пути по времени, нужно определить функцию для пути. Функцию, восстанавливаемую по ее известной производной и дифференциалу, называют первообразной.

Функцию  называют первообразной для функции   на некотором промежутке, если для всех значений  из этого промежутка выполняется равенство:

 .

Так для функции   первообразной на множестве  будет функция  , так как  для каждого  . Но и функция   также будет являться первообразной для функции  , так как  . И функции  ,  будут первообразными для функции  . Да и вообще, любая функция  , где   константа, будет являться первообразной для указанной функции  , так как ее производная будет равна  .

Получается, что функции   имеет бесконечное множество первообразных.

И вообще, если функция   является первообразной для функции   на некотором промежутке, то множество всех первообразных для функции  на этом промежутке задается формулой , где . Это действительно так, ведь:

.

 называют семейством первообразных, а константу  – произвольной постоянной.

Неопределенным интегралом от функции  на некотором промежутке называют любую первообразную функции  на этом промежутке и обозначают . Читают «интеграл эф от икс дэ икс». Символ  называют знаком интеграла, функцию  – подынтегральной функцией, а  – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Отметим основные свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. Если функция  имеет первообразную, то , а .

Свойство 2. Если  является дифференцируемой функцией, то  и .

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла .

Свойство 4. Если функции  и  имеют первообразные, то , то есть интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций.

Формулы для неопределенных интегралов от некоторых элементарных функций могут быть получены исходя из того, что интегрирование представляет собой математическую операцию, обратную дифференцированию.

Интегралы, приведенные в этой таблице, часто называют основными табличными интегралами.

1)
2)
3) ,	в частности,
4)
5)
6)
7)
8)
или
9)
10)
11)
12)

 

Рассмотрим некоторые способы вычисления неопределенных интегралов.