Понятия производной и дифференциала функции

Описание сложных, изменяющихся со временем процессов, протекающих в реальной жизни, с помощью элементарной математики практически невозможно, так как используемые для этого величины сами изменяются. Высшая математика оперирует величинами и зависимостями, подверженными изменениям, происходящим по различным законам.

В высшей математике величиной, определяющей быстроту изменения функциональной зависимости, является производная функции. Введем это понятие. Для этого обратимся к рис. 2, на котором графически представлена некоторая произвольная функциональная зависимость . Отметим на графике значения аргумента   и , разница между которыми есть приращение аргумента: . Тогда  и  – соответственно значения функции в этих точках, где  называют приращением функции.

Рассмотрим отношение . Оно характеризует целый интервал. Чтобы достигнуть поставленной цели: знать значение величины в каждой точке в каждый момент времени, устремим  к нулю (), то есть стянем этот интервал практически к точке, к предельно малому значению. Тогда и  будет стремиться к нулю (). Получим предел отношения . Если этот предел существует, то его называют производной функции  в точке  и обозначают . Таким образом:

   или   .

Итак, производной функции  в точке  называют предел отношения приращения функции  в точке  к приращению аргумента  при стремлении последнего к нулю.

Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием этой функции. Функцию, имеющую производную в некоторой точке , называют дифференцируемой в этой точке.

Выявим геометрическое толкование производной. Используем рис. 2. На нем графически изображена некоторая функция . При значении аргумента  функция имеет значение . На линии графика эти координаты определяют точку . Если аргументу функции дать приращение , то новому значению аргумента  будет соответствовать значение функции . Эти значения определят точку . Проведем секущую  и обозначим через  угол между этой секущей и положительным направлением оси . Тогда тангенс этого угла равен:

.

Если теперь мы будем стягивать интервал , то точка , перемещаясь вдоль кривой, будет стремиться к точке  Секущая будет поворачиваться около точки , и угол  будет изменяться. При  угол  будет стремиться к некоторому конечному пределу , а секущая  к касательной к графику, проходящей через точку . Тогда:

.

Таким образом получаем, что значение производной функции  при заданном значение аргумента  равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке . В этом заключается геометрический смысл производной.

С понятием производной функции тесно связано понятие ее дифференциала. Введем это понятие.

Пусть есть функция, определенная в каждой точке на некотором отрезке [ a, b ], и дифференцируемая в каждой точке , принадлежащей отрезку [ a, b ]. Производная этой функции определяется так:

.

Опираясь на определение предела функции, можно записать:

,

где  – малая величина, которая стремиться к нулю  при . Умножим последнее равенство на . Получим:

.

Слагаемое  из-за малости обоих сомножителей является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем , и его можно не учитывать в уравнении. Тогда слагаемое  является основной частью уравнения, линейной относительно .

Произведение  называют дифференциалом функции, обозначают  или  и записывают:

.

Найдем дифференциал независимой переменной :

, , следовательно , тогда .Заменив в формуле дифференциала функции  на , получим:

.

Откуда:

.

Таким образом, можно сказать, что производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Обозначение  читают так «дэ игрек по дэ икс». Символы дифференциалов нельзя сокращать.                                          

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим дифференцируемую функцию  на интервале [ a, b ]. Ее график изображен на рис. 3. Из рисунка видно, что . , а . Тогда . . Тогда можно сказать, что геометрическое истолкование дифференциала следующее: если функция  имеет производную в точке , то дифференциал функции  в этой точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , при переходе от точки касания в точку с абсциссой . Таким образом, дифференциал – это линейная часть приращения функции, то есть часть приращения отсекаемая касательной. Это видно на рис. 3:  – это приращение функции, а  – ее дифференциал.

При малых приращениях аргумента функции  приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу . Это приближение широко используют как в самой математике, так и в ее приложениях, поскольку оно позволяет легко и быстро вычислять приращение функции с незначительной погрешностью. Можно показать, что для дифференцируемой в точке  функции , у которой , при всех достаточно малых  справедлива следующая формула:

или .

В общем случае производная функции  представляет собой скорость изменения этой функции при изменении ее аргумента. В этом состоит физический смысл производной функции. Это положение широко используется при решении ряда физических задач. В частности, как рассматривалось выше, мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки равна производной зависимости ее координаты от времени. И вообще, в случаях, когда рассматривают течение какого-либо процесса во времени, быстроту его протекания выражают через производную. Примеры этого мы встречаем при описании процесса изменения температуры тела при его нагревании или охлаждении, размножения бактерий (модели Мальтуса и Ферхюльста), изменении концентрации лекарственного препарата или индикатора в крови (фармакокинетическая модель) и пр. Вопрос об указанных моделях мы рассмотрим в §4 этого пособия.