Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение. Из формулы для произведения комплексных чисел следует формула Муавра: если , то

.

При возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на нее.

Пример. Найти , где .

Решение.Возводим в шестую степень , согласно формуле (2.13):

= .

Определение. Корнем n-ой степени (n N) из комплексного числа называется комплексное число, n-ая степень которого равна подкоренному числу.

Пусть ,

Меняя получим n различных значений корня из комплексного числа. Следовательно, корень n–ой степени из действительного числа также имеет n комплексных значений, т.к. действительное число является частным случаем комплексного числа.

Пример. Вычислить

Перейдем из алгебраической формы в тригонометрическую:

,

При k=0 получим

При k=1 получим

При k=2 получим

При k=3 получим

 

Полученные корни изобразим на комплексной плоскости:

Отметим, что точки плоскости являются вершинами правильного четырехугольника. Это не случайно – для любого  и любого  корни степени n из числа являются вершинами правильного -угольника с центром в нуле.

                

               Входной контроль

1. Запишите формулу Муавра для возведения в степень

2. Запишите определение корня n-ой степени

Ход работы

1.Найти:   

2.Вычислить корни и изобразить на комплексной плоскости

1) 2)

3.Решить уравнение: х⁴+16=0

Выходной контроль

Найти (каждое задание 3 балла):

1 вариант

2) 3) 4)

2 вариант

2) 3) 4)

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
11-12	90 ÷ 100	5	отлично
10	80 ÷ 89	4	хорошо
8-9	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 8	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 22

Тема: Решение типовых задач на применение комплексных чисел.

Цель: Научиться решать типовые задач на применение комплексных чисел

Теоретические основы

Комплексное число – упорядоченная пара чисел I=a+jb,
где a,b– вещественные числа; j– мнимая единица (в математике обозначают i).                                 По определению j² = -1

Изображение синусоидальных функций времени
в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.
Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:C=c∙e^jφ=a+jb

где с - модуль комплексного числа;
φ- аргумент;
a - вещественная часть комплексного числа;
b - мнимая часть;
j - мнимая единица, j = √-1.

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

c∙e^jφ=c∙cosφ+jcsinφ

a=c∙cosφ, b= c∙s

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

,  

Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).

Умножим комплексное число на множитель .
Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β.
Множитель называется поворотным.

 , то вектор, умноженный на  , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус - вектор.
Выражение
 называется комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим - комплексную функцию времени для напряжения.
- комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Пример.

,

Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

,

Амплитуда результирующего тока  , начальная фаза -  .

Мгновенное значение результирующего тока  

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме: - закон Ома;

- первый закон Кирхгофа; (6.5)

- второй закон Кирхгофа. (6.6)

Входной контроль.

1. Дайте определение комплексного числа

2. Перечислите различные формы записи комплексного числа

3. Как выполняется действия над комплексными числами?

4. Где в электротехнике применяются комплексные числа?

   

Ход работы.

1. Найти силу тока и падение напряжения на различных участках по следующим формулам: , , , ,

где , , ,

2.  Найти силу тока и падение напряжения на различных участках по следующим формулам: , , , ,

где , , ,

3. Определите сопротивление по нижеприведенным формулам

, , ,

где , ,

Выходной контроль

1 вариант

1) (2 балла) Напряжение в комплексной форме описывается . Найти уравнение напряжения.

2) (3 балла) Найти проводимость участка цепи, при том, что напряжение в комплексной форме описывается , а ток - .

3) (3 балла) Найти силу тока и падение напряжения на различных участках по следующим формулам: , , , ,

где , , ,

4) (3 балла) Найти силу тока и падение напряжения на различных участках по следующим формулам: , , , ,

где , , ,

5) (4 балла) Определите сопротивление по нижеприведенным формулам

,где , ,

 

2 вариант

1) (2 балла) Ток в комплексной форме описывается . Найти уравнение тока.

2) (3 балла) Найти проводимость участка цепи, при том, что напряжение в комплексной форме описывается , а ток -

3) (3 балла) Найти силу тока и падение напряжения на различных участках по следующим формулам: , , , , где , , ,

4) (3 балла) Найти силу тока и падение напряжения на различных участках по следующим формулам: , , , , где , , ,

5) (4 балла) Определите сопротивление по нижеприведенным формулам

, где , ,

 

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
14-15	90 ÷ 100	5	отлично
12-13	80 ÷ 89	4	хорошо
11	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 11	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 23

Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка

Теоретическая основа

Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

 или .

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c₁, c₂, …, c_n), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c₁, c₂, …, c_n, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c₁, c₂, …, c_n.

начальному условию y(x₀)=y₀, получила в литературе название задачи Коши.

 Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде .

Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

 (отсюда происходит название данного типа уравнения).

Пример Возьмем дифференциальное уравнение

 или ,

Данное уравнение является с разделяющимися переменными> Разнося переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде

.

Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение вида , где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать данное уравнение к виду

 или , где постоянная  уже не имеет ограничений на знак.

Как видно получилось семейство гипербол.

Входной контроль.

1. Дайте определение дифференциального уравнения.

2. Что называется порядком дифференциального уравнения?

3. Чем отличается общее решение дифференциального уравнения от частного?

4. Расскажите алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными?

Ход работы:

1.Найдите частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях

а) ydy=(x²+sinx)dx; у=1, при х=0 

б) ydy=(x³-cosx)dx; у=-1, при х=0

в) ху^/=2у; у= 2, при х=3 

2. Найдите общее решение дифференциального уравнения

а)

б)                         

Выходной контроль:

Каждое задание -1 балл

1.Найдите частное решение дифференциального уравнения

Вариант	Задание 1		Задание 2	Задание 3
		Начальные условия
1	у'=2у	у=3 при х=2	(1-х)у'-у=0	2 xdy = ydx
2	у^/ =sin3x	у=5 при х=π	x ^2 dy - y ^2 dx =0

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
3	90 ÷ 100	5	отлично
2	80 ÷ 89	4	хорошо
1	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 1	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 24

Тема: Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Теоретические основы

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y '' + py ' + qy = 0,где p и q - постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность - нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k ² + pq + q = 0,которое является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами /

1)Корни характеристического уравнения - действительные и различные (D>0)

Иными словами,k₁ k₂. В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

2)Корни характеристического уравнения - действительные и одинаковые (D=0)

Иными словами,k=k₁₌k₂. В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

3)Корни характеристического уравнения – не действительные (D<0)

Иными словами,k₁ =  _, k₂ = . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение y '' + y ' -2 y = 0,

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k ² -2k -2 = 0,

его корни и - вещественные и различные. Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

Пример. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение y '' -8y' +16 y = 0,

Решение. Характеристическое уравнение k ² -8k +16 = 0 имеет равные корни .

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

Пример. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение y '' -2y' +10 y = 0

Решение. Характеристическое уравнение k ² -2k +10 = 0 имеет комплексные корни

 Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

Пример Найти частное решение дифференциального уравнения y '' -4 y=0, удовлетворяющее начальным условиям: y(0)=1, y^|(0)=2
Решение составим и решим характеристическое уравнение:

k ² -4k = 0

k₁=-2, k₂=2
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:

Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант c₁, c₂ чтобы выполнялись ОБА условия.

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие y(0)=1:

y(0)=
Согласно начальному условию, получаем первое уравнение: y(0)=

Далее берём наше общее решение
и находим производную:
Используем второе начальное условие y^|(0)=2

В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:

 ,
Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант  , в общее решение

 -частное решение

Входной контроль

1. Запишите определение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

2. Запишите характеристическое уравнение

3. Запишите решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если дискриминант положительный 

4. Запишите решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если дискриминант равен нулю 

5. Запишите решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если дискриминант отрицательный 

 

Ход работы

Найдите общее решение дифференциальных уравнений:

1) у"+3у'-4y=0

2) у"-2у'+2y=0

3) у"+у'-2y=0

4) у"-9у'=0

5)  у"-у=0

Найдите частное решение дифференциальных уравнений:

1) y '' +8y' +16 y = 0; y(0)=2, y^|(0)=8

2) y '' +9 y = 0; y()=1, y^|()=-6

Выходной контроль

Найдите общее решение дифференциальных уравнений (каждое задание 2 балла):

Вариант 1                                            Вариант 2

1) у"+25у=0                                       1) у"+5у'=0

2) у"-3у'+2у=0                                      2) у"-2у'+5у=0

3) у"-9у'=0                                           3) у"-у=0                                                 

4)у"-6у'+9у=0                                   4)у"+2у'+у=0    

5) у"-4у'+13у=0                                5) у"+2у'+5у=0      

Найдите частное решение дифференциального уравнения (4 балла):

Вариант 1                                            Вариант 2

 у^||-4у^|+5y=0                                        y '' +6y' +9 y = 0;

 y(0)=1, y^|(0)=-1                                  y(0)=1, y^|(0)=2

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
12-14	90 ÷ 100	5	отлично
11	80 ÷ 89	4	хорошо
10	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 10	менее 70	2	неудовлетворительно

 

 

Информационное обеспечение

Основные источники:

1. Дадаян, А.А. Математика: Учебник. -М.: ФОРУМ: ИНФРА-М. 2019.- 542 с.;

2.Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: Учебное пособие. -М.: ФОРУМ: ИНФРА-М. 2019.- 542 с.;

3.Татарников О.В. Элементы линейной алгебры. Учебник и практикум для СПО. М. – Юрайт, 2019.-334c.;

4.Попов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для СПО. М. – Юрайт, 2019.-368c.;

 

Дополнительные источники:

1. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике[Текст]: Учебное пособие для средних профессиональных учебных заведений / Н.В. Богомолов. – 5-е изд., стер. - М.: Высшая школа. 2003. – 495 с. (Рекомендовано Министерством образования и науки РФ)

2. Григорьев С.Г. Математика[Текст]: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования/С.Г.Григорьев, С.В. Иволгина; под ред. В.А. Гусева.-9-е изд., стер._М.: Издательский центр «Академия», 2013.-416 с.

3. Лапчик, М.П. Элементы численных методов [Текст]: Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М.П. Лапчика. – М.: Издательский дом «Академия», 2007. – 224 с.

 

Интернет-ресурсы:

 

1. Единая коллекция Цифровых образовательных ресурсов - http://school-collection.edu.ru/

2.Метод Гаусса, формулы Крамера, матричный определитель [Электронный ресурс]. - URL: http: // www.matburo.ru/. Дата обращения: 06.04.2011.

3.Образовательный математический сайт - http://www.exponenta.ru

4.Сайт «Теория вероятностей и математическая статистика» [Электронный ресурс]. - URL: http: // www.teorver/ru. Дата обращения: 06.04.2011.

5.Общие методы решения уравнений [Электронный ресурс]. - URL: http://www.rusedu.ru/subcat_is /htm/. Дата обращения: 06.04.2011.

6.«Дискретная математика» (журнал) [Электронный ресурс]. - URL: http: // dma.mi.ras.ru

7.«Теория вероятностей и ее применение» (журнал) [Электронный ресурс]. - URL: www.tvp.ru