Интегрирование подстановкой (замена переменной)

Формулы интегрирования справедливы и в том случае, если переменная интегрирования является в свою очередь функцией от какой-либо другой переменной. На этом важном свойстве интегралов основан так называемый способ подстановки (метод замены переменной интегрирования). При интегрировании подстановкой следует ввести новую переменною с тем расчётом, чтобы получить один из табличных интегралов. В полученной первообразной функции необходимо вернутся к «старой» переменной интегрирования.

 Пример Найти интеграл         

 Решение:

Интегрирование по частям

Заключается в применении формулы

Данный метод применим в том случае, если задача нахождения указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла. Причем,

1. В интегралах вида , ,  Заменяют

2. В интегралах вида , ,  Заменяют

3. В интегралах вида , , Заменяют за u любую из функций. Интегрирование по частям применяется несколько раз.

Если существует конечный передел интегральной суммы

 

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

       Вычисление определенного интеграла основывается на формуле Ньютона-Лейбница:

Входной контроль

1. В чем заключается интегрирование заменой переменной

2. Запишите формулу интегрирования по частям

Ход работы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Выходной контроль

1 вариант

1.(3 балла)    

2. (3 балла)   

3. (4 балла)

4. (4 балла)

2 вариант

1. (3 балла)        

 2. (3 балла)

3. (4 балла)

4. (4 балла)

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
13-14	90 ÷ 100	5	отлично
11-12	80 ÷ 89	4	хорошо
10	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 10	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 16

Тема: Вычисление площадей

Цель: Научиться вычислять площади фигур

Теоретические основы

Пусть на отрезке [а,b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком > функции У =f(x) на отрезком [а,b]н прямыми х-а, х = b, называют

y=f(x)

a

b

y

x

0

криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:                 

y

Рассмотрим случаи:

b

a

x

1)

0

y=f(x)

 

                                                                     

y

b

2)

0

x

a

                                                                                 

                                                                                          

y=f(x)

y

3)

x

0

a

b

                                                            

Входной контроль

1. Дайте определение криволинейной трапеции
2. Как находится площадь криволинейной трапеции
3. Какие формулы для нахождения площади криволинейной трапеции вы знаете

Ход работы

 Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции:

1) y=cosx, y=0, x=0, x=

2) y = -х² + 4, у = 0

3) у = , у = 0, х = 4, х = 9

4)

5)

Выходной контроль

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции- каждое задание -3 балла

Вариант1                                                   Вариант 2

1.                                   1.    

2.                                                   2.

3.                                                         3.

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
8-9	90 ÷ 100	5	отлично
7	80 ÷ 89	4	хорошо
6	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 6	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 17

Тема: Вычисление объёмов тел вращения

Цель: Научиться вычислять объёмы тел вращения

Теоретические основы