Олимпиадные задачи прошлых лет

Задача 1

Антон выписал на доску арифметическое выражение, а Лёня заменил в нём некоторые цифры буквами (разные цифры — разными буквами, одинаковые цифры — одинаковыми буквами). Получилось следующее:

Восстановите выражение. (Достаточно привести пример.)

Ответ:

Замечание. Других решений не существует.

Задача 2

Существует ли дробь, равная 7/13, разность знаменателя и числителя которой равна 24?

Ответ: да, существует, 28/52.

Решение. Так как 7/13 — несократимая дробь, любая равная ей дробь имеет вид 7x /13x, где x — некоторое натуральное число. При этом разность знаменателя и числителя такой дроби будет равна 6x. Имеем 6x = 24, следовательно, x = 4.

Это единственная дробь, подходящая под условие задачи.

Задача 3

Фигура, изображённая на рисунке справа, сложена из спичек (сторона маленького квадрата — одна спичка). Площадь всей закрашенной фигуры равна 300 квадратных сантиметров. Найдите суммарную длину всех использованных спичек.

Ответ: 140 см.

Решение. Обозначим площадь одного маленького квадратика за a. Тогда на рисунке изображено 8 маленьких квадратиков площади a и один большой квадрат площади 4a. Суммарная площадь равна 8a+4a = 300, откуда a = 25 см2. Значит, сторона маленького квадратика равна 5 см.

Заметим, что прямоугольник, образованный двумя соседними маленькими квадратами, содержит 7 спичек. Всего на рисунке 4 таких непересекающихся прямоугольника, значит, использовано 28 спичек. Учитывая, что длина одной спички равна 5 см, получаем, что суммарная длина всех спичек — 140 см.

Задача 4

Есть 10 одинаковых бассейнов и два шланга с разным напором.

Известно, что первый шланг наполняет бассейн в 5 раз быстрее, чем второй.

Петя и Вася начали заполнять каждый по 5 бассейнов, Петя первым шлангом, а Вася — вторым. Известно, что Петя закончил на час раньше. За какое время

Вася заполнил свои 5 бассейнов?

Ответ: 1 час 15 минут.

Решение. Пусть Петя заполняет один бассейн за время x, тогда Вася заполняет один бассейн за время 5x (так как второй шланг в пять раз медленнее заполняет один бассейн).

Тогда свои пять бассейнов Петя заполнит за время 5x, а Вася свои — за 25x.

Получаем уравнение 25x — 5x = 1, откуда x = 3 мин. Тогда Вася заполнит свои бассейны за 25x = 25 · 3 = 75 мин = 1 ч 15 мин.

Задача 5

У короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую монету, второму — две монеты, третьему — три,..., десятому — десять. Затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов монет будет поровну, то они могут их забрать. Смогут ли мудрецы забрать золото?

Ответ: да, смогут.

Решение. Каждое действие короля представляется в виде двух последовательных действий:

1. выдаём по одной монете всем мудрецам;

2. отбираем одну монету у одного из мудрецов.

Тогда назовём действием первого типа то, где монета отбирается у первого мудреца; действием второго типа то, где монета отбирается у второго мудреца;...; действием десятого типа — монета отбирается у десятого мудреца.

Следовательно, если выполнить следующие 55 действий:

1. одно действие первого типа;

2. два действия второго типа;

3. три действия третьего типа;

...

10. десять действий десятого типа,

то каждому мудрецу достанется ещё по 55 золотых монет, но при этом у каждого мудреца будет отобрано ровно столько монет, какой он по счёту.

Выходит, что спустя эти 55 действий у всех будет ровно по 55 монет.

 

                                                                                           Приложение 2

Конспект урока

Тип урока: вводный урок

Тема: «Возникновение алгебры»

Учебная задача: ввести понятие «алгебра», познакомить с историей развития алгебры.

Цели:

ü образовательная:

o ознакомиться с понятием «алгебра»

o ознакомиться с историей развития алгебры

o проверка знаний по предыдущему курсу алгебры

ü развивающая:

o стимулировать мотивацию и интерес к самостоятельному изучению математики

ü воспитывающая:

o коммуникативные навыки;

o воспитывать речевую культуру, умение выслушивать других.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый

Форма работы: фронтальная, групповая

Оборудование: компьютер, проектор, карточки с заданиями.

Ход урока:

Вводное слово