Тема: Молекулярная физика. Термодинамика.

Цель: усвоить основные законы молекулярно-кинетической теории газов научиться применять их при решении задач

 

Краткие теоретические сведения

 

Таблица 2.3 – Основные законы и формулы

Физические законы переменные	Формулы
Число ν молей вещества, m – масса, μ – молярная масса
Уравнение Менделеева – Клапейрона, р – давление, V – объём, R – универсальная газовая постоянная, Т - температура
Масса m0 одной молекулы газа, NA – число Авогадро
Число молекул N в некоторой массе т газа
Закон Дальтона для смеси газов: где р – давление смеси газов; рn – давление n – го компонента смеси (парциальное давление); n – число компонентов смеси.
Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов: где р – давление газа; m0 – масса одной молекулы;  - концентрация молекул, число молекул в единице объема, - средняя квадратичная скорость молекул
Физические законы переменные	Формулы
Средняя кинетическая энергия Ек теплового движения молекул газа; i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана
Формула связывающая давление газа и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул:
Уравнение Менделеева – Клапейрона, р – давление, V – объём, R – универсальная газовая постоянная, Т - температура
Уравнение Клапейрона(уравнение состояния газа):
Изопроцессы: 1)изотермический процесс m = const, Т= const; 2) изобарный процесс m = const, р= const; 3) изохорный процесс m = const, V= const;	1) ; 2) ; 3)
Зависимость давления газа от концентрации и температуры:
Скорости молекул: 1) средняя квадратичная скорость молекул; 2) наиболее вероятная скорость молекул; 3) средняя арифметическая скорость молекул.	1) ; 2) ; 3)
Внутренняя энергия U газа массой т; I – число степеней свободы; μ – молярная масса газа; R - универсальная газовая постоянная; Т - температура
Изменение внутренней энергии dU идеального газа при изменении температуры на величину dT
Количество теплоты Q, необходимой для нагревания тела массой m; c – удельная теплоёмкость
Первый закон термодинамики: где Q – количество теплоты, подводимое к системе; ΔU – изменение внутренней энергии; А – работа, совершаемая системой против внешних сил.
Работа газа при изотермическом расширении
Работа газа при изобарном расширении
Удельная теплоемкость:   Физические законы переменные	Формулы
Молярная теплоемкость: 1) молярная теплоемкость изохорная; 2) молярная теплоемкость изобарная.	; 1) ; 2) ;
Коэффициент полезного действия η тепловой машины; Q1 – теплота, передаваемая рабочему телу нагревателем; Q2 – теплота, передаваемая рабочим телом холодильнику
Коэффициент полезного действия ηк идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно; Т1 - температура нагревателя, и Т2 - температура холодильника
Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2: где dQ – количество теплоты, Т – термодинамическая температура.

Примеры решения задач

1.Найти массу атомов: 1) водорода; 2) гелия. 3) молекулы СО₂

Дано:

1) водород (Н₂)

2) гелия (Не)

3) молекулы СО₂

Найти:

1) m₀ (Н2) –?,

2) m₀ (Не) –?,

3) m₀ (СО₂) –?

Решение

Молярная масса газа

,

где m₀ – масса атома, N_A – число Авогадро, отсюда

.

Пользуясь таблицей Менделеева, определим молярные массы вещества

,

,

.

Вычислим

,

,

.

Ответ: , ,

2. Какова средняя кинетическая энергия молекулы газа, если его давление равно 5^.10⁴ Па, а в объеме 12 л содержится 6^.10²⁴ молекул?

Дано:

р=5^.10⁴ Па

V=12 л=12·10^-3м³

N=6·10²⁴

Найти:

E_k=?

Решение:

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории

где  - концентрация. Тогда

,

,

,

Дж

Ответ: Дж

3 Определите массу газа, объем которого 5 м³, давление 3 атм, а средняя квадратичная скорость молекул 1500 м/с.

Дано:

V=5 м³,

Р=3 атм = 3·10⁵Па,

.

Найти:

m –?

Решение

Средняя квадратичная скорость молекул

,                                                                                                                (1)

где R – универсальная газовая постоянная, T – термодинамическая температура, μ – молярная масса газа.

Возведем к квадрат уравнение (1) получим:

.                                                                                                              (2)

Из уравнение Менделеева – Клапейрона

,

или

                                                                                                               (3)

Подставим уравнение (3) в (2)

,

отсюда

,

,

Ответ: .

3. Газ при температуре t =15⁰С и давлении р= 200 кПа имеет плотность ρ = 0,34 кг/м³. Найти молярную массу μ газа.

Дано:

t=15⁰С, Т=273+15=288 К,

р= 200 кПа=2·10⁵Па,

ρ = 0,34 кг/м³.

Найти:

μ –?

Решение

Из уравнения Менделеева – Клапейрона

,

где V – объем газа, R – универсальная газовая постоянная,

.

Плотность газа

,

Тогда

,

отсюда

,

,

.

Ответ:

4. Какой объем занимает смесь азота массой 2 кг и гелия массой 1 кг при нормальных условиях. Чему равна молярная масса смеси?

Дано:

m₁ = 2 кг,

m₂ = 1 кг,

Т = 273К,

р = 10⁵Па,

μ₁(N₂)=28·10^-3кг/моль,

μ₂(Не) = 4·10^-3кг/моль.

Найти:

V –?

μ –?

Решение

Объем смеси газов

,

где V₁ – объем азота, V₂ – объем гелия.

Объемы газов найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона:

,

,

отсюда

,

,

где R – универсальная газовая постоянная, р – давление газа, Т – термодинамическая температура, тогда

,

,

.

Молярная масса смеси μ есть отношение массы смеси m к количеству вещества смеси ν, т.е

.

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси m=m₁+m₂. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов. Подставив в формулу , выражения m=m₁+m₂ и , получим

,

,

Ответ: , .

5. Внутренняя энергия некоторого количества азота при температуре 20º равна 4·10³ Дж. Определить массу газа.

Дано:

μ₂(N₂)=24·10^-3кг/моль,

t = 20ºC, Т = 273+20=293 К

U = 4·10³ Дж.

Найти:

m –?

Решение

Внутренняя энергия газа

,

где m – масса газа, μ – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная, T – термодинамическая температура, i – число степеней свободы молекулы, так как азот двухатомный, то i =5, тогда

,

,

Ответ: .

6. Одноатомный газ был нагрет при постоянном давлении р = 90 кПа. В результате его объем увеличился на D V = 2 см². Найти: 1) совершенную газом работу, 2) приращение внутренней энергии D U газа, 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.

Дано:

р = 90 кПа = 90·10³Па,

DV = 2 см³ = 2·10^-6м³,

p=const,

i = 3.

Найти:

А –?

DU –?

Q –?

Решение

При изобарном процессе Р = const первый закон термодинамики можно записать в виде:

,

где А – работа,

,

р – давление газа, DV – изменение объема газа.

,

ΔU – изменение внутренней энергии газа, вычисляется по формуле:

,

где i – показатель степени свободы молекулы, i = 3, так как гелий одноатомный газ, R –универсальная газовая постоянная, μ – молярная масса гелия. Из уравнения Менделеева – Клапейрона

,

тогда

,

Количество теплоты

.

Ответ: , , .

7. Газ расширяясь изобарно при давлении 2^.10⁵ Па, совершает работу 200 Дж. Определить первоначальный объем газа, если конечный объем равен 2,5 л.

Дано:

р=2^.10⁵ Па,

А = 200 Дж,

p=const,

V₂ = 2,5 л = 2,5·10^-3м³.

Найти:

V₁ –?

Решение

Работа при изобарном процессе вычисляется по формуле:

,

где р – давление газа, V₁ – начальный объем, V₂ – конечный объем газа, отсюда

,

,

Ответ: .

8. Какой должна быть температура нагревателя, для того чтобы в принципе стало возможным достижение значения КПД тепловой машины 80%, если температура холодильника 27⁰С?

Дано:

η=80%,

Т₂ = 27⁰С.

Найти:

Т₁ –?

Решение

КПД идеальной тепловой машины:

,                                                                                  (1)

где Т₁ – температура нагревателя, Т₂ – температура холодильника.

Преобразуем выражение (1)

.,

,

,

,

Т₂ = 27+273=300К,

.

Ответ: .

9. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Определить к.п.д. цикла, если известно, что за один цикл была произведена работа, равная 3000 Дж, и холодильнику было передано 1,35·10⁴ Дж теплоты.

Дано:

А = 3000 Дж,

Q₂ = 1,35·10⁴ Дж.

Найти:

η –?

Решение

КПД тепловой машины

,                                                                                                    (1)

где А – совершаемая работа, Q₁ – количество теплоты полученное от нагревателя.

Работа равна:

,

где Q₂ – количество теплоты, преданное холодильнику, отсюда

,

тогда

,

.

Ответ: .

10. В процессе работы тепловой машины за некоторое время рабочим телом было получено от нагревателя количество теплоты Q ₁ =1,5·10⁶Дж, передано холодильнику Q ₂ =-1,2·10⁶Дж. Вычислите КПД машины и сравните его с максимально возможным КПД машины, если температура нагревателя и холодильника соответственно равны 250⁰С и 30⁰С.

Дано:

Q₁=1,5·10⁶Дж,

Q₂=-1,2·10⁶Дж,

Т₁ = 250⁰С,

Т₂ = 30⁰С.

Найти:

η₁ –?

η₂ –?

Решение

КПД тепловой машины

,

где Q₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя, Q₂ – количество теплоты, преданное холодильнику,

КПД идеальной тепловой машины:

,

где Т₁ – температура нагревателя, Т₂ – температура холодильника.

Т₁ = 250+273=523К, Т₂ = 30+273=303К, тогда

.

Ответ: ,