Функции распределения по временам пребывания

Отметим, что при рассмотрении процессов в химических реакторах понятия жидкости и газа часто эквивалентны, поскольку они подчиняются одним и тем же закономерностям, а для их описания используется один и тот же математический аппарат.

Рассмотрим поток жидкости (газа), проходящий через реактор в условиях неизменной плотности и отсутствия химических реакций. Тогда среднее время пребывания жидкости в объеме будет определяться выражением:

t = V / G,                   (25)

 

где V – объем реактора, G – объемный расход жидкости.

В дальнейшем по мере необходимости будем пользоваться понятием безразмерного времени:

q = t / τ = Gt / V,          (26)

 

где t – натуральное время.

Различные элементы жидкости («жидкие» частицы) могут проходить через реактор различными путями, и, следовательно, периоды присутствия этих элементов в объеме реактора будут неодинаковыми.

Пусть каким-то образом удается зарегистрировать распределение I – интервалов времени, в течение которых эти элементы присутствуют в реакторе, считая от некоторого момента t = 0. Тогда Idt составит долю элементов жидкости, для которых интервалы времени присутствия внутри реактора находятся в пределах от t до t + dt. Поскольку сумма всех долей жидкости в реакторе равна единице, то выполняется следующее выражение (условие нормировки функции распределения I):

.                    (27)

Очевидно, что доля содержащихся в реакторе элементов жидкости, для которых время присутствия меньше некоторого значения t ₁, составит величину . Доля находящихся в реакторе элементов жидкости со временем присутствия больше t ₁ будет равна .

Пусть теперь удалось найти распределение Е – интервалов времени, прошедших от момента попадания данного элемента жидкости в объем реактора до момента выхода его из реактора (распределение по временам пребывания).

По аналогии с предыдущей функцией величина Edt составит долю элементов жидкости, для которых время от момента их попадания в объем реактора до появления в потоке на выходе реактора находится в диапазоне от t до t + dt. Имеет место аналогичное условие нормировки:

 

.                   (28)

 

С использованием функции распределенияпо временам пребывания Е среднее время t пребывания жидкости в реакторе составит величину:

 

.        (29)

 

Функция E (t) связана с функцией I (t) соотношением:

 

.        (30)

При использовании безразмерного времени q (26) имеют место следующие соотношения:

I (q) = t I (t); E (q) = t E (t); ; .

 

Знание указанных функций распределения, характеризующих данный реактор, необходимо для расчета степени превращения веществ в реакторе и определения его оптимального размера и конфигурации.

Например, степень превращения X исходного реагента в ходе реакции 1-го порядка dn / dt = – kn определяется следующим выражением:

 

.                (31)

 

Для экспериментального определения функций распределения I и Е используют методы, основанные на исследовании отклика данной системы на возмущение. Возмущающее воздействие в рассматриваемом случае проточного реактора заключается во введении в поток на его входе какого-либо вещества (трассера), химически не реагирующего с веществом потока.

Сигналы возмущения могут в принципе иметь различную форму, однако чаще всего используют ступенчатое или импульсное возмущение, поскольку это существенно упрощает анализ состояния исследуемой системы.

Действительно, легко видеть, что при внесении возмущения в виде длинной ступенчатой функции (длинный импульс) отклик F системы связан с функцией распределения I жидкости по временам присутствия в объеме реактора простыми соотношениями: I = 1 – F, если отсчет вести от переднего фронта, и I = F при отсчете от заднего фронта импульса. При этом длина импульса должна быть больше времени установления стационарного распределения трассера по объему реактора (то есть значительно больше среднего времени пребывания t жидкости в реакторе).

При использовании возмущающего воздействия в виде короткого импульса, длительность которого много меньше t, отклик С системы совпадает с функцией Е распределения жидкости по временам пребывания, то есть С = Е.

Для удобства сравнительного анализа характеристик различных реакторов вводят понятия об идеальных реакторах.

Реактором идеального вытеснения называется реактор, в котором в любом поперечном сечении, нормальном к направлению движения потока жидкости, скорость и все свойства жидкости (давление, состав, температура и др.) распределены равномерно, а продольные диффузионные потоки отсутствуют.

Таким образом, в реакторе идеального вытеснения все элементы жидкости проходят через реактор за одинаковое время, и последовательность изменения свойств жидкости одинакова для всех элементов. Поскольку диффузия из одного «поперечного» элемента в другой отсутствует, степень превращения в каждом элементе остается одной и той же.

Это позволяет рассматривать каждый такой элемент как реактор периодического действия с длительностью цикла, равной времени прохождения элемента через реактор.

Реактор идеального перемешивания определяется как реактор, в котором поступающая в него жидкость мгновенно перемешивается с содержимым объема реактора, так что состав смеси в любой точке объема реактора одинаков.

Таким образом, реактор идеального перемешивания является по смыслу крайней противоположностью реактора идеального вытеснения.

В таблице 2 приведены функции распределения I и Е для реакторов различного типа.

Таблица 2

Реактор идеального вытеснения	Реактор идеального перемешивания	Реальный реактор

 

Видно, что функции распределения для реального реактора представляют собой нечто среднее между соответствующими функциями для реакторов идеального вытеснения и перемешивания.

Разработано огромное количество различных конструкций ПХ-реакторов, некоторые из них приведены на рис. 9 [7].

Некоторые реальные химические реакторы по своим характеристикам оказываются достаточно близкими к одному из идеальных реакторов. Для оценки принадлежности какого-либо реактора к классу аппа-ратов идеального вытеснения или смешения следует сопоставить скорости массообмена со скоростью химической реакции.

Для этого можно воспользоваться критериями, разработанными различными авторами, например, «критерием перемешивания» К_п, предложенным Абаевым [1]:

 

,                     (32)

где L_p – длина реактора, D _эфф – эффективный коэффициент массообмена (обычно коэффициент турбулентной диффузии), W – скорость химической реакции, Г₀ – исходная концентрация реагента.

При К_п << 1 режим потока в реакторе близок к режиму реактора идеального перемешивания, а при К_п >>1 – к режиму реактора идеального вытеснения.

Оценим К_п для ПХ-реактора лабораторной установки пиролиза природного газа в струе водородной плазмы, имеющей следующие характеристики: L_p = 10 d = 6 см; характерное время химической реакции (Г₀/ W) ~ 10^-4c (при Т реакции ~ 2000 K) и эффективный коэффициент турбулентной диффузии в рассматриваемых условиях D _эфф ~ 10³ см²/с (исходя из результатов измерения времени перемешивания до молекулярных масштабов).

Подставляя данные результаты в (32), получаем для критерия перемешивания значение К_п» 400 >>1. Отсюда следует, что данный реактор по своим характеристикам близок к реактору идеального вытеснения. Аналогичная ситуация имеет место для большинства плазмоструйных ПХ-реакторов. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только реакторы вытеснения.

Отмеченная выше близость реального и идеального реакторов не означает полной их эквивалентности. Существует ряд принципиальных и полностью неустранимых различий между идеальными и реальными реакторами вытеснения.