Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Определение:

Число «a» называется пределом функции «f» в точке x₀, если для любого ε > 0 найдется δ = δ (ε) > 0 такое, что |x − x₀| < δ, справедливо неравенство | f (x) − A| < ε

Односторонние пределы:

1)Предел слева

Число A называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при , выполняется неравенство .

Записывается так:

 

2)Предел справа

Число A называется пределом функции справа в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при , выполняется неравенство .

Записывается так:

 

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности.

*См.2 билет

Предел функции на бесконечности:

2)Предел при :

Число A называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Предел функции и его свойства.

Дать опред. предела функции в точке и на бесконечности

 

4) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

5) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

6) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

7) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.

Эквивалентные бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.

Определение

Если , то бесконечно малые величины и называются эквивалентными ().

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

·

·

·

·

· , где ;

·

· , где ;

·

·

· , поэтому используют выражение:

, где .

Пример решения, заменой экв.:

Найти .

Решение:

Т.к. и при , то:

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

·

·

·

·

Доказательства

Второй замечательный предел:

13.Таблица экв.бесконечно малых. Вывод соотношений

14. Таблица экв.бесконечно малых. Вывод соотношений ,

Сравнение б.м..Таблица экв. Б. м.

См. предыдущ. Билеты!

Доказательство

Так как ln y = v(x) ln u(x), то, продифференцировав это равенство, получаем

Теорема доказана.

31. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма.

Правило Лопиталя.

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ;

Если и , то аналогично .

 

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Дифференциал длины дуги.

Предел вектор-функции

Определение. Пусть , – предельная точка множества . Вектор называется пределом вектор-функции в точке , если для любой числовой последовательности , .

Теорема. Пусть , – предельная точка множества , пусть в множестве выбран базис и – координаты вектор-функции в этом базисе, – вектор, кординаты которого в выбранном базисе . Тогда утверждение

Бол

Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Определение:

Число «a» называется пределом функции «f» в точке x₀, если для любого ε > 0 найдется δ = δ (ε) > 0 такое, что |x − x₀| < δ, справедливо неравенство | f (x) − A| < ε

Односторонние пределы:

1)Предел слева

Число A называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при , выполняется неравенство .

Записывается так:

 

2)Предел справа

Число A называется пределом функции справа в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при , выполняется неравенство .

Записывается так: