Модели фильтров, описываемые дифференциальными уравнениями первого и второго порядка

 

Моделями, описываемыми дифференциальными уравнениями(ДУ) 1-го порядка, например, могут являться RL- и RC-цепи, используемые в качестве фильтров низких и высоких частот.

Схема коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.28. Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.29.

Рис. 2.29. Схема коммутации RL- и RC- цепи на источник постоянного напряжения E

 

Дифференциальное уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, описывает процессы в цепи после замыкания ключа:

Учитывая, что ­, то уравнение можно записать в следующем виде:

Как видно из моделей, переменными состояния в RL- и RC-цепях являются ток через катушку индуктивности и напряжение на конденсаторе соответственно.

В качестве моделей, описываемых ДУ 2-го порядка, можно рассмотреть нагруженные RLC-фильтры низких и высоких частот, а также двигатель постоянного тока независимого возбуждения, являющегося основой ЭМС постоянного тока.

Фильтр низких частот. Ненагруженный RLC-фильтр представляет собой последовательно соединенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. В зависимости от того, с какого элемента (индуктивности или емкости) будет сниматься напряжение в качестве выходного, фильтр может пропускать высокие или низкие частоты.

 Схема коммутации нагруженного фильтра низких частот (ФНЧ) на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.30.

Рис. 2.30. Схема коммутации ФНЧ 2-го порядка на источник постоянного напряжения E

Составим по второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФНЧ 2-го порядка:

Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа –

Учитывая, что , данная СДУ запишется в виде

СДУ в нормальной форме Коши –

В матричном виде

где матрица коэффициентов перед переменными состояния; вектор свободных членов СДУ; вектор переменных состояния.

В ФНЧ 2-го порядка переменными состояния являются ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе.

 

Фильтр высоких частот. Схема коммутации нагруженного фильтра высоких частот (ФВЧ) на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.31.

Рис. 2.31. Схема коммутации нагруженного ФНЧ 2-го порядка на источник постоянного напряжения E

 

Дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФВЧ 2-го порядка, по второму закону Кирхгофа –

Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа –

.

Учитывая, что , данная СДУ запишется в виде

СДУ в нормальной форме Коши –

В матричном виде

где матрица коэффициентов перед переменными состояния; вектор свободных членов СДУ;

вектор переменных состояний.

Переменные состояния здесь такие же, как и у ФНЧ. Разница математических моделей ФНЧ и ФВЧ состоит в различных векторах свободных членов B.