Кільце многочленів від n змінних. Розклад многочлена на добуток незвідних множників. Симетричні многочлени.

Означення 1. Кільцем многочленів від змінних над областю цілісності R називається кільце многочленів від однієї змінної над кільцем , тобто = [ ].

Кільце многочленів над областю цілісності R є область цілісності, причому кожен елемент можна подати як скінчену суму: , (1),

де

Означення 2. Кожний елемент кільця називається многочленом від змінних над і позначається ,

і т.д.

Кожен доданок в сумі (1) називається членом многочлена , елемент – коефіцієнтом цього члена. Два члени, які відрізняються тільки коефіцієнтами називаються подібними.

 

Приклад: -многочлен від двох зміннихx, y.

 

Теорема 1. Будь-який многочлен можна подати у канонічній формі (без подібних членів).

Означення 2 Степенем члена многочлена називається сума . Число називається степенем даного члена відносно . Найбільший із степенів членів називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – старшим членом многочлена.

 

Приклад:

7 – степінь многочлена, - старший член многочлена.

Означення 3. Якщо всі члени многочлена мають однаковий степінь, то многочлен називається однорідним.

Теорема 2. Якщо і – відмінні від нуля многочлени з , де – область цілісності, то .

 

Нехай і - два члени многочлена . Вважається, що перший елемент вищий від другого, якщо . Відношення “бути вищим” на множині членів многочленів є лінійним строгим порядком, його називають лексикографічним (позначають ).

Приклад: - лексикографічний запис многочлена, - вищий член.

 

Лема 1. Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.

Означення 4. Вважатимемо, що многочлен ділиться на многочлен і записуватимемо , якщо існує такий многочлен , що . При цьому - дільник .

 

Властивості подільності:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Означення 5. Многочлен називається незвідним у
полі Р, якщо і .

Многочлен називається звідним у полі Р, якщо і .

 

Властивості незвідних многочленів:

1) Якщо р незвідний у полі многочлен, то і будь-який асоційований з ним многочлен незвідний у полі .

2) Якщо і незвідні у полі Р многочлени і , то і асоційовані.

3) Будь-який многочлен першого степеня незвідний у полі .

Теорема 3. Будь-який многочлен над полем Р ненульового степеня множна подати як добуток многочленів, незвідних у полі Р, причому єдиним способом з точністю до сталих множників і їх порядку.

Лема 2. Для будь-якої скінченої системи елементів ( – область цілісності), відмінних від нуля, існує єдиний (з точністю до дільників одиниці) НСД.

Означення 6. Многочлен називається примітивним (відносно ), якщо НСД його коефіцієнтів дорівнює одиниці.

Лема 3. Добуток двох примітивних многочленів з є примітивний многочлен.

Означення 7. Многочлен називається симетричним відносно змінних , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен рівний даному.

 

Приклад: симетричний відносно ;

симетричний відносно , але несиметричний відносно або не симетричний відносно

 

Властивості симетричних многочленів:

1) Сума, різниця і добуток симетричних многочленів від n змінних над деяким полем є симетричний многочлен над цим полем.

Наслідок. Множина всіх симетричних многочленів від змінних над полем утворює область цілісності з 1 відносно дій додавання і множення.

2) Якщо симетричний многочлен містить деякий член , то він містить і член, утворений з даного, внаслідок будь-якої перестановки показників .

3) Якщо є вищий член симетричного многочлена, то .

 

Теорема 4. (основна теорема теорії симетричних
многочленів)

Всякий симетричний многочлен від змінних над полем можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій цих змінних, коефіцієнти якого належать тому ж полю , причому це представлення єдине.

 

Елементарні симетричні многочлени:

 

Представлення симетричних сум через елементарні симетричні многочлени:

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

5.1. Упорядкувати лексикографічно і знайти вищий член многочлена з кільця .

 

Розв’язання.

Маємо

Вищий член многочлена: . Многочлен впорядковано за спаданням степенів .

 

5.2. Застосовуючи заміну розкласти на незвідні у полі многочлен .

 

Розв’язання.

Маємо:

.

 

5.3. Чи симетричні многочлени:

.

 

Розв’язання.

Нехай , тоді ,

цей многочлен несиметричний.

.

Розв’язання.

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Цей многочлен симетричний.

 

5.4. Виразити через елементарні симетричні многочлени

.

Розв’язання.

 

§ 6. Застосування симетричних многочленів до розв¢язування деяких задач з елементарної алгебри.