Теория аналитических функций.

Глава XIV

Теория аналитических функций.

 

Комплексное число z=x+iy, отличное от нуля можно записать в тригонометрической форме:

, где - модуль комплексного числа z, Arg z – аргумент этого числа.

Значение аргумента заключенное в промежутке (-π, π], называется главным значением аргумента и обозначается arg z.

Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле:

(), где –π<arg z π.

Главное значение аргумента числа z=x+iy можно вычислить по формулам:

, при x>0,

, при x<0, y 0,

, при x<0, y<0.

 

№2664. Найти модули и главные значения аргумента комплексных чисел, заданных ниже. Записать эти числа в тригонометрической форме:

1) z=1+i

(т.к. x>0)

3) z=3

5) z=6i

7) z=-1+i

9)

11)

13)

 

Корень n-ой степени из комплексного числа , отличного от нуля имеет n значений. Все они определяются по формуле:

(k=0;+1;…;n-1)

 

 

№2665. Найти все значения корней, заданных ниже комплексных чисел, и изобразить их в виде точек комплексной плоскости:

1) (k=0;1)

( )

k=0,

k=1

3) , z=-1, ,

(k=0,1,2)

k=0,

k=1,

k=2,

5) (k=0,1,2,3)

k=0,

k=1,

k=2,

k=3,

7) , z=

(k=0,1)

k=0, ;

k=1,

 

9) , z=2- i 2

(k=0,1,2,3,4)

 

 

В задачах 2675-2684 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему равенству:

№2675

- окружность с центром в точке z₀ радиуса R.

=R²

№2677

|z+1-2 i |=3 – окружность с центром в точке -1+2 i радиуса 3.

№2679.

Re z - Im z =2

x – y =2 => y = x – 2 - прямая.

 

№2681.

|z - 1| + |z + 1| =3

, , ,

№2683.

, , , , , ,

 

 

В задачах 2685-2696 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему неравенству:

 

№2685.

|z - z₀|<R, , - внутренность круга с центром в точке z­₀ радиуса R.

№2687.

|z +1- i | <3

, - внутренность круга с центром в точке радиуса 3.

№2689.

Re z > 2, x>2 – полуплоскость расположенная справа от прямой x=2.

№2690.

, - прямая y=-1 и полуплоскость расположенная ниже этой прямой.

№2691.

0<Re z<2, 0<x<2 – полоса расположенная между прямыми x=0,x=2.

№2692.

, - прямые y=0, y=3 и все точки между ними.

№2693.

, , , , .

Парабола y²=1-2x и её внутренность.

№2695.

, , , .

Угол, образованный положительной частью действительной оси и лучом, выходящим из начала координат и образующим с положительным направлением действительной оси угол, равный радиана, а также точки, лежащие на сторонах этого угла.

 

Для того чтобы сходился (абсолютно сходился) ряд , необходимо и достаточно, чтобы сходились (абсолютно сходились) ряды и .

 

Производная и интеграл.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно чтобы функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции от двух действительных переменных x и y, были дифференцируемы в точке (x_­,y) и чтобы имели место равенства:

(условие Коши-Римана) При этом производная может быть вычислена по формулам:

№2756. Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную функции в следующих задачах. (2756-2759)

w=z². Пусть z=x+ i y, тогда w=(x+ i y)²=x²-y²+2xyi= , где u(x;y)=x²-y², v(x;y)=2xy.

Проверим условие Коши-Римана:

т.е. условие Коши-Римана выполняется

№2757.

w=z²+2z-1

Пусть z=x+ i y, тогда w=x²-y²+2xy i +2x+2y i -1=x²-y²+2x-1+(2xy+2y) i =u(x;y)+ i v(x;y)

 

т.е. условие Коши-Римана выполняется

 

№2758.

w=cos 2z

Пусть z=x+ i y, тогда

Итак,

Поэтому

Условие Коши-Римана выполняется.

w´=-2sin 2z

 

№2761. Доказать, что w=z Im z дифференцируема только в точке z=0, найти w´(0).

Проверим условие Коши-Римана.

Пусть z=x+ i y, тогда Im z=y и

 

w´(0)=0+i 0=0

№2760. Доказать, что функция нигде не дифференцируема.

Пусть z=x+ i y, тогда и

Условие Коши-Римана не выполняется ни в одной точке, следовательно функция нигде не дифференцируема.

 

 

§79.

Радиус R сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара (круг сходимости |z-z₀|<R): , причем R=0, если и R=0, если .

Можно по формуле:

 

В задачах 2729-2736 определить радиусы сходимости и круг сходимости степенных рядов.

№2729.

(очевидно z₀=0)

 

|Z|<1

 

 

№2730

, |z-i|<3 - круг сходимости

№2731

№2732

 

 

|z-(-1)|<1 (круг сходимости)

№2733

R=1, |z|<1 (круг сходимости)

т.к.

 

№2734

(круг сходимости)

№2735

- круг сходимости

 

№2735

- круг сходимости

Вычеты и их приложения.

Коэффициент a_-1 в лорановском разложении однозначной аналитической функции в окрестности конечной изолированной особой точки z₀

,

называется вычетом этой функции относительно точки z₀ и обозначается (начальные буквы res от французского слова residu – остаток). Вычет через интеграл выражается формулой:

,

где - окружность,

В частном случае, когда z_0­ ­­­­­– полюс функции , вычет можно также вычислить по формуле:

,

если z₀ – простой полюс, и по формуле:

,

если z₀ – полюс кратности m>1.

Конформные отображения

Дробно-линейное отображение (окружность в окружности) представляется 3-мя точками: тогда

разность где встречается ∞ заменяется единицей.

1. №220. Написать какую-либо дробно-линейную функцию, которая переводит круг в нижнюю полуплоскость.

Решение.

На границе данного круга выберем три точки, например, z₁=0, z₂=2, z₃=-2 i. на окружности задается направление обхода, при котором круг оказывается справа.

Выберем теперь в плоскости w на действительной оси (которая является границей нижней полуплоскости) три точки w₁, w₂, w₃ таким образом, чтобы при соответствующем обходе границы нижняя полуплоскость оставалась справа. Можно взять, например, w₁=0, w₂=1, w₃=∞. По выбранным трем парам соответственных точек , используя формулу (7.4), запишем искомую дробно-линейную функцию:

- искомое отображение. Это не единственное решение, т.к. точки z₁, z₂, z_3­, w₁, w₂, w₃ – произвольные.

2. Отобразить полосу на верхнюю полуплоскость:

a) Рассматривая отображение w₁=z-3 i, получим полосу

b) с помощью отображения (полоса 0<y<h (h<2π) преобразуется в угол раствора h с вершиной в начале координат)

преобразует полосу в

c) наконец, отображение w₃=w₂ (угол в угол ). В нашем случае

3. Найти функцию, отображающую область на область .

a) осуществим поворот вокруг нуля на , это осуществляет функция

Следовательно, при данном повороте угол преобразуется в .

b) Рассмотрим отображение преобразующее угол в угол . В нашем случае

4. Отобразить угол раствора с вершиной в точке z=2+ i ограниченный лучами Arg (z-2-i)=0+2kπ, на нижнюю полуплоскость.

a) (переводит угол с вершиной в начале координат)

b) угол в верхней полуплоскости

c) - искомое отображение.

Глава XIV

Теория аналитических функций.

 

Комплексное число z=x+iy, отличное от нуля можно записать в тригонометрической форме:

, где - модуль комплексного числа z, Arg z – аргумент этого числа.

Значение аргумента заключенное в промежутке (-π, π], называется главным значением аргумента и обозначается arg z.

Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле:

(), где –π<arg z π.

Главное значение аргумента числа z=x+iy можно вычислить по формулам:

, при x>0,

, при x<0, y 0,

, при x<0, y<0.

 

№2664. Найти модули и главные значения аргумента комплексных чисел, заданных ниже. Записать эти числа в тригонометрической форме:

1) z=1+i

(т.к. x>0)

3) z=3

5) z=6i

7) z=-1+i

9)

11)

13)

 

Корень n-ой степени из комплексного числа , отличного от нуля имеет n значений. Все они определяются по формуле:

(k=0;+1;…;n-1)

 

 

№2665. Найти все значения корней, заданных ниже комплексных чисел, и изобразить их в виде точек комплексной плоскости:

1) (k=0;1)

( )

k=0,

k=1

3) , z=-1, ,

(k=0,1,2)

k=0,

k=1,

k=2,

5) (k=0,1,2,3)

k=0,

k=1,

k=2,

k=3,

7) , z=

(k=0,1)

k=0, ;

k=1,

 

9) , z=2- i 2

(k=0,1,2,3,4)

 

 

В задачах 2675-2684 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему равенству:

№2675

- окружность с центром в точке z₀ радиуса R.

=R²

№2677

|z+1-2 i |=3 – окружность с центром в точке -1+2 i радиуса 3.

№2679.

Re z - Im z =2

x – y =2 => y = x – 2 - прямая.

 

№2681.

|z - 1| + |z + 1| =3

, , ,

№2683.

, , , , , ,

 

 

В задачах 2685-2696 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему неравенству:

 

№2685.

|z - z₀|<R, , - внутренность круга с центром в точке z­₀ радиуса R.

№2687.

|z +1- i | <3

, - внутренность круга с центром в точке радиуса 3.

№2689.

Re z > 2, x>2 – полуплоскость расположенная справа от прямой x=2.

№2690.

, - прямая y=-1 и полуплоскость расположенная ниже этой прямой.

№2691.

0<Re z<2, 0<x<2 – полоса расположенная между прямыми x=0,x=2.

№2692.

, - прямые y=0, y=3 и все точки между ними.

№2693.

, , , , .

Парабола y²=1-2x и её внутренность.

№2695.

, , , .

Угол, образованный положительной частью действительной оси и лучом, выходящим из начала координат и образующим с положительным направлением действительной оси угол, равный радиана, а также точки, лежащие на сторонах этого угла.

 

Для того чтобы сходился (абсолютно сходился) ряд , необходимо и достаточно, чтобы сходились (абсолютно сходились) ряды и .