VII. Дифференциальные уравнения

 

 

Основные понятия

 

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных.

Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово “обыкновенные” будем опускать).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записывать в виде:

(7.1)

при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения (7.1) -го порядка называется такое его решение:

(7.2)

которое является фукцией переменной и произвольных независимых постоянных . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними).

Частным решение дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач экономики, физики, биологии, экологии и т.п.

 

 

Дифференциальные уравнения первого порядка

v Уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

(7.3)

или в виде:

(7.4)

где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример 1.

Решить уравнение.

Решение. ; ; ;

; ; ; .

v Однородные дифференциальные уравнения.

Диффернциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представленно в виде:

(7.5)

где - некоторая функция (одной переменной).

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени (по переменным и ), если для произвольного числа выполняется равенство:

(7.6)

Однородные уравнения при помощи подстановки приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Так как , то уравнение имеет вид (7.5) при . Положим , отсюда и . Подставим в преобразованное уравнение:

,

.

Получим уравнение с разделяющимися переменными:

,

.

Интегрируя почленно последнее равенство, получаем:

,

,

.

Возвращаясь к первоначальным переменным, получим:

, откуда .

v Линейные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:

(7.7)

где и - некоторые (непрерывные) функции переменной . В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения: будем искать решение в виде , тем самым искомыми становятся функции и , одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая – должна определяться из уравнения (7.7). Т.е. используется в решении замена .

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Разделив левую и правую части на приходим к линейному неоднородному уравнению:

.

Пусть , , тогда уравнение примет вид:

или .

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций (например ) можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными.

или откуда .

Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при и .

При исходное уравнение обратится в уравнение:

или .

Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем:

.