Память» участников или «самосогласование»

 

Задача согласования логически может быть разделена на две части:

определение способа согласования данных функций u_k(x), k=1, 2,...,n;

определение характера изменения формы согласования при изменении индивидуальных функций.

Будем предполагать, что выполняется одно очень важное усло­вие: оператор согласования, задающий коллективную целевую функцию F(u₁,..., u_k) = u(х), обладает тем свойством, что если сразу все участники не различают по предпочтению какие-то аль­тернативы а, b Х, то и коллектив в целом их не различает:

u_i (a)= u_i (b) u(a) = u(b). (5.7)

Разумеется, это условие выполняется, если оператор согласования удовлетворяет более сильному условию:

u_i(a) u_i (b) u(a) u(b). (5.8)

При выполнении указанного очень важного условия неравен­ство u(a) u(b) означает, что хотя бы для одного i {1, 2,..., п} имеет место u_i (a) u_i (b). Значит, при каждом данном наборе функций u_k(x) значения функции и(х) зависят только от значений функций u_k т. е. и(х) есть некоторая суперпозиция функций u_k:

и(х)=Ф(u₁(х), u₂(x),...,(u_n(x)). (5.9)

В этом случае удобно от пространства значений переменных (х) перейти к пространству значений функций (u_k), в котором можно геометрически представлять как поверхности безразличия функции Ф(u₁,u₂,...,u_n) так и отображение множества А Е_n в множество U_A = {u_k: u_k = u_k(x), x X} (рис. 5.1.).

Заметим, что если задано правило согласования F, удовлетво­ряющее сформулированному выше важному условию, то для каж­дого данного набора функций u_k(x) заданы поверхности безраз­личия функции Ф(u₁, и₂,..., u_n), реализующие конкретно это со­гласование, т. е. задано решение первой части задачи согласо­вания.

Рис. 5.1.

Каждый фиксированный набор

предпочтений участников порож­дает определенное агрегированное предпочтение коллектива. По­скольку реальные предпочтения участников могут меняться с тече­нием времени, глобальное предпочтение также может меняться. При одном наборе u_k(x) согласование будет характеризоваться с помощью функции Ф(u₁, и₂,..., u_n), при другом наборе v_k(x) -функцией (v₁,v₂,...,v_п). Вторая часть задачи согласования за­ключается в установлении связи между функциями Ф и .

Как легко заметить, аксиомы Эрроу и аналогичные им относятся либо к первой части задачи согласования, либо ко второй. Так, аксиомы универсальности, анонимности, Парето-оптимальности от­носятся к первой части задачи, требующей конкретизации коллективного предпочтения для каждого фиксированного набора функ­ций. Аксиомы независимости альтернатив, монотонности (или положительной реакции) явно указывают на то, как должно изме­няться коллективное предпочтение при переходе от данного набора индивидуальных предпочтений к другому.

Дескриптивная задача моделирования поведения коллектива имеет своей целью установление правил, в соответствии с которыми изменение глобального предпочтения следует изменениям отдель­ных предпочтений. В нормативном плане следует указать, как должно бы меняться поведение (и предпочтение) коллектива при изменении предпочтений его членов. Представляется, что и в том и в другом случае необходимо рассматривать не абстрактные воз­можности изменения предпочтений, а те модификации, которые имеют смысл, которые реально возможны.

Операциональный смысл потенциальной множественности предпочтений состоит прежде всего в их возможности изменения во времени. То, что участник остается «самим собой», несмотря на изменение его предпочтений, может интерпретироваться как нали­чие у него «памяти» о самом себе. Обычно изменение предпочте­ний происходит постепенно, по частям, поэтому можно предполо­жить, что каждый участник в определенном смысле способен сравнивать свои состояния при одном предпочтении с состояниями при другом предпочтении хотя бы для некоторых «близких» (в том или ином смысле) предпочтений.

Возможность такого сопоставления, «согласования» своих раз­личных предпочтений индивидом, а точнее, сравнения различных состояний при разных предпочтениях явно подразумевается в утверждении типа: «Жить теперь стало лучше, чем вчера», так как предпочтения «теперь» и «вчера» у индивидов могли весьма раз­личаться. Фактически на этой же идее сопоставимости собственных предпочтений основана и схема соизмерения полезностей во вре­мени с помощью коэффициентов дисконтирования. В самом деле, использовать коэффициенты для соизмерения можно лишь в том случае, когда «полезность благ» измеряется в одной и той же шкале; но так как функции полезности в разные моменты времени могут быть разными, то до соизмерения их надо выразить в единой шкале, т. е. соизмерить вне времени.

Конечно, по своей сути эта проблема в значительной степени является психологической, так как затрагивает не только измене­ние предпочтений, но и сохранение «я» индивида в этом изменении, проблему его памяти [24]. Можно считать, что необходимым условием сохранения личности или индивидуальности является воз­можность сопоставления своих удовлетворенностей во времени, наличие памяти о самом себе. Аналогично статистическая группа остается сама собой, если возможно соотносить характеристики ее удовлетворенностей «прежде» и «теперь». В случае невозмож­ности такого соотнесения не имеет смысла говорить об одном индивиде или об одной группе, а надо говорить о разных индиви­дах, разных группах. В данной работе согласование интересов рассматривается в предположении возможности осуществления указанных сопоставлений.

Перейдем к рассмотрению модели памяти произвольного участ­ника. Уточним обозначения: множество альтернатив х Х будем считать односвязным компактом и неизменным; если u(х) обозначает некоторую фиксированную интервальную функцию полезности, а u(х)— любую функцию из того же класса ИФП, то

u(х) = ku(х) + l, (5.10)

где k и l—произвольные постоянные, причем k>0.

Будем считать, что каждый класс ИФП вида (5.10) задается одним своим представителем и^а(х), , так что между инди­каторами и функциями u^а(х) установлено взаимно однознач­ное соответствие. Множество представляет собой множество всех возможных целевых функций.

Будем различать функции (5.10) по их индикаторам

u (х), u (х),..., ,... w,

так что u (х) и u (х) — некоторые выделенные функции классов . Память участника или самосогласование между классами предпочтений определяется с помощью двухместного упоря­дочения R₁ и четырехместного R₂ (относительно переменных х, y X):

[х, u ] R₁ [y, u ]

[х° х¹, u ] R₂ [у° y^l, u ];

x, y, х°, х¹ , у°, y^l X, .

Вместо функций u (х), u (х) можно использовать любую другую функцию классов , определяемую формулой (5.10). Отно­шение R₁ означает, что состояние х Х при ИФП u (х) не хуже состояния у Х при ИФП индивида u (х). Отношение R₂ выра­жает, что переход из состояния х° в состояние х¹ при ИФП u (х) не хуже, чем переход от состояния у° к состоянию у¹ при ИФП u (х).

Если отношения R₁ , R₂ выполняются в обе стороны, то будем писать:

[x, u ] ~ [y, u ]

[х х¹, u ] ~ [у y^l, u ].

Основное предположение заключается в том, что порядки R1 и R2 определяются с помощью некоторого единого оператора F, задан­ного на функциях и^а(х) со значениями

f^a (x) = F[u ]_x,

где f^a(x) - непрерывная функция, так что имеют место:

[х, u ] R₁ [y, u ] f (x) f (y); (5.11)

[х° х¹, u ] R₂ [у° y^l, u ] f (х¹) - f (х¹) f (y^l ) - f (y⁰ ). (5.12)

Таким образом, оператор F переводит полезности u (х) и u (у) векторов х и у в единую шкалу, которую можно назвать «шкалой инвариантной полезности».

Очевидно, должны быть заданы естественные условия связи между ИФП u , u и отношениями R₁ и R₂:

[х, u ] R₁ [y, u ] u (x) u (y); (5.11)'

[х° х¹, u ] R₂ [у° y^l, u ] u (х¹) - u (х⁰) u (y^l ) – u (y⁰ ). (5.12)'
х, у, х°, х¹ , у°, y^l X, . (5.13)

Кроме того, предполагается, что выполняется некоторое спе­циальное условие сравнимости предпочтений, означающее существо­вание для некоторых пар функций u (х) и u (х) эквивалентных (в смысле R1 и R2) пар альтернатив. Будем различать три моди­фикации этого условия.

Условие полной сравнимости:

существует два подмножества множества альтернатив: Х⁰, Х¹ Х, элементами которых являются соответственно некоторые альтернативы x^0, х^1, , т. е. Х° = { x^0, }, Х¹ = { х^1, }, так что выполняется:

, , (5.14)

что в силу основного предположения приводит также к соотношению

. (5.15)

Условие попарной сравнимости:

для любой пары существуют альтернативы из X x^0, х^1, , x^0, х^1, , такие, что

, ,

.

Соответствующие пары функций будем называть сравнимыми.

Условие опосредованной сравнимости:

для любой пары существует конечное множество из М = М() функций

(x), (x), …, (x),

такое, что пары функций (x), (x), k = l, 2,..., М — 1, сравнимы, а все a_k зависят от и , . Предполагая существование оператора F, прежде чем найти его явный вид, установим необходи­мые условия, которым он должен удовлетворять.

Лемма 5. Значение оператора F на функциях u(х) есть интервальная функция того же класса, что и и(х).

Доказательство. Необходимо доказать, что

f(x)=ku(x) + l, k>0. (5.14)

Сравнивая условие (5.11) с соотношением (5.11)', видим, что функция f(x) имеет оди­наковые с u(х) поверхности безразличия и коэффициент k>0. Кроме того, сопостав­ляя условие (5.12) с формулой (5.12)', можно заметить, что всякий раз, когда в точках х , х , y , y X выполняется соотношение

u(x ) - u(x°) u(y^l) - u(y°), (5.15)

выполняется и соотношение

f(x ) - f(x°) f(y^l) - f(y°). (5.16)

Эквивалентность неравенств (4.15) и (4.16) означает также эквивалентность равенств

f(x ) - f(x°) = f(y ) - f(y°) u(x ) - u(x°) = u(y ) - u(y°),

откуда по доказанной лемме 2 следует, что должно выполняться соотношение (5.14).

Таким образом, значение оператора F на функции u (х) есть линейная функция от u (х), т.е.

F(u ) = ku (x) +l.

Однако это не означает, что сам оператор является обыкновенной сложной функ­цией от u (х), поскольку для каждой из них коэффициенты k и l будут своими. В частности, когда рассматриваются функции из класса , можно записать:

F[u (x)] = k(a)u (x) + l(a), . (5.17)

Замечание. Очевидно, если оператор F[u (x)]задан, то оператор F' = Р • F(u ) + Q, где Р > 0 и Q — некоторые числа, будет задавать те же самые отношения R и R . Таким образом, и сам оператор тоже определяется с точностью до положительного множителя и сла­гаемого.

 

Лемма 6. Пусть порядки R и R задаются с помощью фиксированного операто­ра F и пусть выполняется условие попарной сравнимости. Тогда для каждой пары существуют константы и , с помощью которых могут описываться порядки R и R :

[x, u^a ] R₁ [y, u^B ] u^B (y) + ,

u^a (x¹ ) - u^a (x⁰ ) [ u^B (y¹ ) – u^B (x⁰ )]. (5.18)

При этом константы определяются следующим образом:

= , = u^a (x^0,a) - u^b (x^0,b ). (5.19)

Доказательство. Пусть оператор F задан; тогда его значения на функциях u^a(x) и u^b(x) определяются в соответствии с леммой 5 как

f^a(x) = k(a) u^a(x) + l(a), f^b(x) = k(b) u^b(x) + l(b), k(a) > 0, k(b) > 0.

Для [х, u^a ] [у, u^b] должно выполняться

k(a) u^a(x) + l(a) k(b) u^b(x) + l(b). (5.20)

а для -

. (5.21)

Неравенства (5.20) и (5.21) означают, что существуют константы

= , = ,

которые позволяют переходить от поверхностей безразличия одной функции u^b(у) к поверхностям безразличия другой u^a(х), т. е. что уровни удовлетворения инте­ресов при разных ИФП сравнимы с помощью интервальной шкалы. Содержательный смысл констант легко выясняется, а их величины вычисляются, если выполняются условия полной сравнимости. В этом случае неравенства (5.20), (5.21) переходят в равенства:

k(a) u^a(х^a,0) + l(a) = k(b) u^b(y^b,0) + l(b),

k(a) u^a(х^a,1) + l(a) = k(b) u^b(y^b,1) + l(b), (5.22)

откуда непосредственно следуют выражения для и в (5.19). Таким обра­зом, константа aопределяет отношение разностей ИФП в эквивалентных точках, а константа b— разницу в началах отсчета обеих шкал в масштабе одной из них.

Оператор F при определенных условиях может быть задан конструктивно для всех функций сразу. Об этом говорит следующая теорема.

Теорема 2. Пусть непрерывные функции u^a (х) заданы на односвязном компакте x X. Пусть также отношения R₁ и R₂, удовлетворяющие условиям (4.11) — (4.13) и условию полной сравнимости, задаются с помощью оператора F(u^a) = f^a(x), a u^a(х^1,a) > u^a(х^0,a). В этом случае оператор выражается следующим образом:

.

Доказательство. Если оператор F существует, то по лемме 6 для каждой пары точек х, у и данных функций и^а(х), u^b (у) можно подобрать константы A и B (одни и те же для всех х, у) по формулам (5.19) так, что будет иметь место

f^a(x) и^а (x) u^b (у) +B. (5.23)

Подставляя в неравенство (5.23) для значений и^а и u^b вместо A и B их выражения из (5.19), получим:

и^а (x) u^b (у) + u^a(х^0,a) – u^b(х^0b)A,

или и^а (x) [u^b (у) + u^b(х^{0, b})] + u^a(х^0,a),

или и^а (x) - u^a(х^0,a) [u^b (у) + u^b(х^0b)]. (5.24)

Так как дробь в правой части неравенства (5.24) имеет положительные числи­тель и знаменатель, то неравенство (5.20) можно переписать в виде

. (5.25)

Таким образом, это условие выполняется всякий раз, когда выполняется не­равенство f ^a (x) ≥ f ^b (x), а значит, и когда выполняется отношение [x, u ^a ]R , [y, u ^b ]. При этом в силу условия полной сравнимости эквивалентная точка х^0,a остается одной и той же независимо от параметра b другой функции.

Пусть теперь в произвольных точках х, , у, , выполняется

f^a () - f^a(x) - f^b(y). (5.26)

По лемме 6 это неравенство эквивалентно неравенству

u^a () - u^a(x) - u^b(y) ],

вкотором коэффициент А определяется по формуле (5.19). Подставим вместо него его выражение из (5.19):

u^a () - u^a(x) - u^b(y) ].

Как и в неравенстве (4.24), числитель и знаменатель дроби в правой части положительны. Поэтому

.

Добавляя и вычитая из числителя первой дроби u ^,a (х ^0,a), а из числителя второй дроби u ^b (х ^0b) получим

- - , (5.27)

что оказывается эквивалентным неравенству (5.26). Обозначая через Ф[u^a] оператор

Ф[u^a]_x = ,

можно заметить, что доказанные неравенства (5.25) и (5.27) означают справедливость следующих соотношений:

f^a(x) Ф[u^a]_x Ф[u^b]_y ,

f^a () - f^a(x) - f^B(y) - Ф[u^a]_x - Ф[u^b]_y .

Верным оказывается и обратное заключение. В самом деле, если выполняются правые неравенства, то неравенства f ^a (x) < f ^b (x) и f ^a () - f ^a (x) < f ^b ()- f ^b (y) не могут иметь места, так как в этом случае по лемме 6 и только что доказанному должны были бы нарушаться правые неравенства. Поэтому функции f ^a (x) и Ф[u^a]_x совершенно одинаково описывают порядки R и R . Так как эквивалентные точки х^0,a, х^1,a, не зависят от точек х^0,b, х ^1,b, то операторы F и Ф совпадают. Теорема доказана.

Условия полной сравнимости автоматически обеспечивают согласованность констант между собой для любых пар функций. Дейст­вительно, пусть сравнение поверхностей безразличия функций , , задается, константами А, В, а, b, Е, D так, что:

и^а(х) = A и^B(y) + B f^a(x) = f^B(y);

(y) = a (z) + b (y)= (z);

и^а(х) = E (z) + D f^a(x) = (z).

Очевидно, должно выполняться:

Е = аА, D = B + bA. (5.28)

В то же время, в силу формул (5.22):

A = , B = и^а (х^0,a) - A (х^0,B);

a = , b = (х^0,B) - a (х^0,x);

E = , D = и^а (х^0,a) - E (х^0,x). (5.29)

С помощью (5.29) нетрудно убедиться, что (5.28) имеет место, значит, все константы согласованы друг с другом и оператор Ф[u] действительно может играть роль оператора F.

Таким образом, если существует оператор F[ua], определяющий порядок R1 и R2, то его значения могут быть заданы формулой

f^a(x) = , ,

где х^0,a и х^0,a х^1,a эквивалентны для всех . Лемма 6 показывает, как при согласовании в случае интервальных полезностей соизме­ряются поверхности безразличия двух различных функций и пере­ходы с одной поверхности на другую. Оказывается, соизмерение осуществляется простым пересчетом начала отсчета и масштаба функций и(х).

По-видимому, разные способы задания порядков R и R могут приводить к различным операторам F(u), а в некоторых случаях такого оператора и вообще может не существовать.

Теорема 2 фактически утверждает, что при выполнении условия полной сравнимости оказываются эквивалентными три способа описания «памяти» или «самосогласования»:

в виде некоторого оператора F[u ^a ];

с помощью правил соотнесения кривых безразличия функций и^а(х) и и^b(х):

и^а = и^b + ;

с помощью оператора Ф [u ^a ].

Если выполняется только условие попарной сравнимости, то оператор Ф может быть определен несколько более сложным спо­собом. Так как эквивалентные точки для каждой пары функций свои и не совпадают для разных пар, то необходимо сначала выразить уровни поверхностей безразличия всех функций через уровни поверхности безразличия одной из них, например через уровни поверхности безразличия функции иE(х). Константы Аа,E, Ва,E определены для всех функций иа(х), так что «эквивалентные» значения функций иа и иE должны удовлетворять равенству (индекс е у констант опущен)

и^а = А^а и^E + В^а .

Взяв две различающиеся альтернативы х°, х1 X, пусть для опре­деленности иE(xl) > иE(х°), найдем для каждого величины

и^а,0 = А^а и^E (х°) + В^а , и^а,1 = А^а и^E (х¹) + В^а .

После этого оператор Ф зададим следующим образом:

Ф [u^a] = (и^а(х) - и^а,0 ) / (и^а,1 - и^а,0 ).

Можно показать, что этот оператор подобно предыдущему случаю полностью описывает порядки R1 и R2, когда они удовлетво­ряют условиям (4.11), (4.12), (4.11)' и условию попарной сравни­мости.

В случае выполнения только условия опосредованной сравни­мости также может быть задана некоторая процедура, позволяю­щая находить оператор самосогласования.