Гіперболічні функції, їх властивості .

Означення. Гіперболічним синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом називаються функції, які визначаються формулами:

Область визначення функцій є а областю визначення функції є .

Графіки функції мають вигляд.

 

 

 

 

За допомогою перетворень графіків основних елементарних функцій можна дістати графіки багатьох інших функцій. Якщо графік відомий то

1. , дістанемо з паралельним перенесенням вздовж осі вверх (вниз) на од.

2. , дістанемо з паралельним перенесенням вздовж осі вліво (вправо) на од.

3. - збільшенням всіх ординат в разів () або зменшенням в разів ()

4. - збільшенням всіх абсцис в разів зменшенням в разів

5. - симетрія відносно осі .

6. - симетрія відносно осі .

7. - всі точки графіка, що лежать нижче осі , відображаються симетрично

Над функціями можна виконувати арифметичні операції додавання і віднімання , множення , ділення . Визначимо ще одну операцію: суперпозицію.

Означення. Нехай функція визначена на множині , а функція - на множені , причому для кожного відповідне значення . Тоді на множені В визначена функція , яка називається складеною функцією від х, або функцією від функцій, або суперпозицією функцій і .

Наприклад. Ф ункція є суперпозицією двох елементарних функцій: тригонометричної і степеневої .

Означення. Функція називається елементарною, якщо вона утворена з основних елементарних функцій за допомогою скінченної кількості арифметичних операцій і суперпозицій.

Виділяють такі класи елементарних функцій:

1) Цілі раціональні (многочлени):

2) , якщо маємо лінійну функцію, – квадратичну.

3) Дробові раціональні: .

4) Ірраціональні: утворюються з раціональних функцій і степеневих з дробовими показниками.

5) Трансцендентні (не є раціональними або ірраціональними):

 

Найпростіші властивості функцій

Парність і непарність.

Означення. Функція називається парною, якщо для будь – якого х з області визначення вона задовольняє умову

Означення. Функція називається непарною, якщо для будь – якого х з області визначення вона задовольняє умову

Зауваження. Графік парної функції симетричний відносно осі , непарної – відносно початку координат.

Періодичність.

Означення. Функція називається періодичною, якщо існує таке число Т, що виконується рівність . Число Т називається періодом функції.

Якщо Т – період функції, то періодами є також числа , Найменший з додатних періодів, якщо він існує, називається основним.

Приклад.

1) - основний

2) - основний

3) - (с – стала) Т – довільне ненульове число, не існує основного періоду.

Обмеженість.

Означення. Функція , визначена на множині називається обмеженою на цій множині, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність .

Значення обмеженої функції не виходять за межі відрізка , тому її графік лежить між прямими та .

Приклад. обмежені на R.

Означення. Функція , визначена на множині називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число , що виконується нерівність

Приклад. Функція обмежена знизу прямою (віссю Ох) і необмежена зверху. Функція необмежена.

Зауваження. Обмеженість функції характеризує множину значень цієї функції.

Монотонність.

Означення. Якщо для двох довільних різних значень з області визначення функції з нерівності випливає, що

1) , то функція називається зростаючою.

2) , то функція називається неспадною.

3) , то функція називається спадною.

4) , то функція називається незростаючою.

Функції зростаючі, незростаючі, спадні і неспадні називаються монотонними, а функції зростаючі і спадні називаються строго монотонними.

Якщо функція не є монотонною в усій області визначення, то вона може бути монотонною на деякій кількості проміжків, які не перетинаються, а в об’єднані співпадають з областю визначення. Такі проміжки називаються проміжками монотонності функції.

Приклад. Функція не монотонна на R, але має два проміжки монотонності: на вона спадає, на зростає.

Функції мають нескінченну кількість проміжків монотонності.