Определение и уравнение конических поверхностей с вершинами в начале координат

Определение 3.

Поверхность называют конической поверхностью с вершиной в начале координат, если выполняется правило: прямая, проходящая через любую точку поверхности и начало координат, целиком лежит на поверхности .

Определение 4.

Функция называется однородной функцией степени , если функция удовлетворяет условию

.

(2)

Утверждение (об уравнении конической поверхности). Уравнение вида

(3)

описывает некоторую коническую поверхность с вершиной в начале координат, если функция есть однородная функция степени (то есть удовлетворяет (2)).

Обратное утверждение.

Если поверхность S является конической поверхностью с вершиной в начале координат, то она описывает уравнение вида (3), где F – однородная функция степени n.

Доказательство прямого утверждения:

Пусть уравнение (3) описывает некоторую поверхность S, причем – однородная функция степени . Пусть и не совпадает с . Проведём через точку и прямую :

Параметрическое уравнение прямой L:

Подставим координаты в уравнение.

Текущая точка лежит на поверхности прямая целиком лежит на поверхности поверхность – коническая с вершиной в начале координат по определению.

 

 

Пример. Уравнение конуса вокруг оси Oz.

В любом сечении плоскостью, перпендикулярной оси Oz, получается эллипс.

 

	Рис.4

Определение и уравнение поверхности вращения вокруг оси Oz

Определение 5.

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси Oz, если она удовлетворяет условию: окружность, проходящая через произвольную точку на поверхности S, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси Oz и с центром на оси Oz, целиком лежит на поверхности S.

Утверждение.

Уравнение вида (и только оно)

(4)

описывает поверхность вращения в пространстве вокруг оси Oz.

■ Доказательство прямого утверждения:

Пусть поверхность S описывается уравнением (4). Выберем точку . Рассмотрим плоскость и окружность с центром в плоскости и проходящую через с радиусом .

Рассмотрим произвольную точку , лежащую на этой окружности, с центром в точке О и лежащую в плоскости с радиусом . Квадрат расстояния от N до O равен:

Подставим координаты точки N в уравнение (4):

так как .

В силу произвольности точки N, вся окружность с центром в точке О, лежащая в плоскости, перпендикулярной Oz, и проходящая через , целиком лежит в , то есть по определению S является поверхностью вращения вокруг оси Oz. ■

Поверхности вращения

 

Если в плоскости xOz дана кривая:

,

(5)

тогда при вращении этой кривой вокруг оси Oz получается поверхность вращения. Для получения уравнения поверхности вращения необходимо в уравнении (5) вместо подставить :

.

Это и будет уравнение поверхности вращения кривой с уравнением (5) вокруг оси Оz.