Умова колінеарності двох векторів. Поділ відрізка в даному відношенні

 

1. Нехай ненульові вектори колінеарні, , тобто існує таке число , що . В координатній формі:

(1)

Отже, умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат.

Приклад. Чи колінеарні вектори

?

Розв’язання. За умовою =(1,2,-3),

=(-3,-6,9), а за

формулою (1) маємо , або ще можна записати .

2. Поділ відрізка в даному відношенні. Знайти координати точки М(х,у,z), яка ділить відрізок в заданому відношенні (рис. 14), якщо відомі координати точки і , тобто:

М

 

 

Рис.14

 

Розглянемо вектори і . Оскільки і , то згідно з умовою (1) колінеарності векторів маємо

Зокрема, якщо точка М ділить відрізок пополам, то і координати середини відрізка:

Задача. Знайти координати центра мас трикутника АВС, у вершинах А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4) якого зосереджені одиничні точкові маси.

 

Розв’язання. Побудуємо вершини трикутника за їх координатами (див. рис.) А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4).

Знайдемо середину відрізка АВ, це точка М – основа медіани:

, M(1,3,1).

Відомо, що центр трикутника має знаходитись на перетині медіан, а медіани, перетинаючись, діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини, тобто

,

, .

Отже, Р(3,1,2)- центр мас трикутника АВС.

 

Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести, що чотирикутник з вершинами А(3,2,-3), В(2,4,6), С(8,3,4), D(9,1,-5) є паралелограм.

2. Показати, що точки А(3,4,1), В(1,0,-1) і С(-2,-6,-4) лежать на одній прямій.

3. Дані точки А(-3,6,1) і В(7,-9,-4). Знайти координати точок С, D, Е, i F, які ділять відрізок АВ на п’ять рівних частин.

4. Знайти координати кінців P і Q відрізка, який точками М(3,1,3) і N(6,-1,1) розділений на три рівні частини.

Відповіді: 3. С(-1,3,0), D(1,0,-1), E(3,-3,-2), F(5,-6,-3)

P(0,3,5), Q(9,-3,-1).

2.7. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій

 

1. Кут між векторами. Нехай задані ненульові вектори . Зведемо ці вектори до спільної точки О і в напрямках векторів проведемо з точки О промені (див. рис. 15).

Менший з кутів, які утворені цими променями називається кутом між векторами і позначається .

Кут між вектором і нульовим вектором не означається.

Очевидно, що якщо , то ; Якщо ж то .

Вправи. 1). Знайти , , .

2). Нехай . Знайти .

 

Рис. 15

 

3). Розглянемо рівнобедренний прямокутний трикутник АВС, де . Знайти

Відповіді:

2. Проєкцію вектора на вісь (позначається ) називається довжина відрізка, який сполучає проекції на цю вісь початку і кінця вектора, взята зі знаком «+», якщо кут між вектором і віссю гострий і знаком «-», якщо цей кут тупий (рис. 16).

Очевидно, що коли , то =0, і навпаки.

Основні властивості проекцій:

1. = (рис. 16);

2. = (рис. 17);

3. = + (рис. 18).

Властивість 3 виконується для суми скінченного числа векторів.

Скалярний добуток векторів

 

Означення. Скалярним добутком двох векторів (позначається ) називається число рівне добуткові модулів цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:

. (1)

На основі властивості 1 проекцїї вектора рівність (1) запишеться:

(2)

У фізиці робота А сталої сили при прямолінійному переміщенні вздовж вектора шляху знаходиться як скалярний добуток цих векторів:

Основні властивості скалярного добутку.

Скалярний добуток комутативний

.

Випливає із (1).

Числовий множник можна виносити за знак скалярного добутку:

.

Для довільних векторів

.

Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю () тоді і тільки тоді, коли один із них є нульовим вектором, або коли ці вектори перпендикулярні .

Таблиця скалярного множення ортів. Згідно означення (1) , аналогічно , а за властивістю (4) .

Отже, скалярний добуток одноіменних ортів дорівнює одиниці, а різноіменних - 0.

Скалярний добуток векторів в координатній формі. Якщо , то .

Дійсно, за допомогою властивостей маємо

Оскільки добуток одноіменних ортів дорівнює 1, а різноіменних – 0, то отримуємо формулу скалярного добутку у координатній формі:

. (3)

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів і .

Розв’язання: За формулою (3) маємо:

.

Приклад 2. Задані точки А(3,2,3), В(1,-4,3), С(-4,5,1). Знайти скалярний добуток векторів .

Розв’язання. Спочатку знайдемо вектори

За формулою (3) маємо

.

Довжина вектора. Якщо в (1) , то

Відстань між двома точками. і знаходиться як довжина вектора за формулою (4):

Косинус кута між двома векторами отримаємо із формули (1) із врахуванням (3) і (4):

Приклад 3. Задані точки . Для паралелограма, побудованого на векторах і обчислити: 1)довжини сторін, тобто і ; 2) косинус та синус, кута ; 3) площу.

Розв’язання. Знаходимо вектори тоді: 1) , . 2) (кут - тупий), . 3)

.

Приклад 4. Знайти модуль вектора , якщо

.

Розв’язання. За формулою (4) . Знаходимо

,

тоді .

 

Умова перпендикулярності двох ненульових векторів випливає із властивості 4^° і формули (3)

Проекція вектора на вектор знаходиться із врахуванням (3) і (4):

Теорема. Декартові прямокутні координати вектора в базисі є його проекціями на відповідні осі координат.

Дійсно, згідно з (9) маємо

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів , утворених між вектором та координатними осями ОХ, ОУ, ОZ (див. рис. 19)

Приклад. Знайти напрямні косинуси вектора та значення виразу .

Розв’язання.

.

Рис. 19

Легко перевірити, що для довільного вектора

Напрямні косинуси вектора повністю визначають напрямок вектора і є координатами одиничного вектора , що збігається за напрямком з , тобто: