Однородные уравнения первого порядка.

 

Функцию f(x, y) называют однородной m – го измерения, если при любом l справедливо равенство f(lx, ly) = l^m f(x, y). Пример:

, т.е., исходная функция – однородная второго измерения.

Уравнение вида y` = f(x, y) (или приводимое к нему) называют однородным, если f(x, y) – однородная функция нулевого измерения, т.е.

f(lx, ly)=f(x, y).

С помощью подстановки у = tх однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции t = y/x.

Пример: (1). Положим y = tx, откуда y` = t + xt`. Подставим в (1):

. Разделяя переменные

и интегрируя получим: (Логарифм произвольной постоянной есть произвольная постоянная, что и используем для упрощения записи). Возвращаясь к исходной функции получим:

,

откуда y= xlnC|y|.

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида y` + P(x)y = Q(x) (9.4) (y и y` входят в первых степенях не перемножаясь между собой). Если Q(x) ¹ 0, уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x) = 0 – линейным однородным. (Если в уравнении (9.4) положим Q(x) = 0, то получим соответствующее ему однородное уравнение). Общее решение линейного однородного уравнения y` + Р(х)у = 0 легко получается разделением переменных:

, где С – произвольная постоянная.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

а) Методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной) – исходя из решения соответствующего однородного уравнения и варьируя произвольную постоянную, т.е полагая , где С(х) подлежащая определению дифференцируемая функция от х. Для нахождения С(х) нужно подставить у в исходное уравнение, что приводит к соотношению откуда , где – произвольная постоянная. Искомое общее решение неоднородного уравнения примет вид

(9.5).

б) Методом Бернулли - подстановкой у = uv, где u и v – неизвестные функции от х, исходное уравнение преобразуется к виду u`v + uv` + P(x)uv = Q(x) (1) или u[v` + P(x)v] + vu` = Q(x) (2). Одна из неизвестных функций (v, например) может быть выбрана произвольно. Определим ее из условия

v` + P(x)v = 0 (3), откуда (4). Подставляя (4) с учетом (3) в (2) получим , откуда и

Произведение произвольныx постоянных есть произвольная постоянная; без потери общности, можно положить С₁ = 1; т.е. и .

Примеры: 1. Решим уравнение y`cos<sup>2</sup>x + y = tgx методом Лагранжа. Соответствующее однородное уравнение: y`cos²x + y = 0. Разделяя переменные, получим , откуда, интегрируя, найдем . Решение исходного уравнения ищем в виде у = С(х)е^–tgx. Подставляя в исходное уравнение у` = C`(x)e^–tgx – C(x)e^–tgx (1/cos²x) получим: и

2. Решим уравнение y` – 2y(x + 1) = (x + 1)³ методом Бернулли. Полагаем

y = uv, y` = u`v + uv` и, подставляя, найдем u`v + uv` – 2uv(x + 1) = (x + 1)³

 

откуда u`v – u(v` – 2v(x + 1)) = (x + 1)³ (1). Положим v` – 2v(x + 1) = 0, откуда . Подставим в (1): u`(x+1)² = (x + 1)³ =>

 

du = (x + 1)dx и u = (x + 1)² / 2 + C, откуда y = uv = (x + 1)⁴/2 + C(x + 1)².