Построение уравнения степенной регрессии

Уравнение степенной агрессии имеет вид:

где a, b параметры, которые определяются по данным таблицы наблюдений. Таблица наблюдений имеет вид

x	x 1	x 2	...	x n
y	y 1	y 2	...	y n

Прологарифмируем исходное уравнение и в результате получим

Обозначим lny через y', lna как a', а lnx как x'. В результате подстановки получим

Данное уравнение есть не что иное, как уравнение линейной регрессии. Для этого прологарифмируем исходные данные:

ln x	ln x 1	ln x 2	...	ln x n
ln y	ln y 1	ln y 2	...	ln y n

Далее необходимо выполнить известные нам вычислительные процедуры по нахождению коэффициентов a и b, используя прологарифмированные исходные данные. В результате получим значения коэффициентов b и a'. Параметр a можно найти по формуле

 

Двухфакторные и многофакторные уравнения регрессии

Линейное двухфакторное уравнение регрессии имеет вид

где a, b1, b2 параметры; x1, x2 экзогенные переменные; y эндогенная переменная. Степенное двухфакторное уравнение регрессии имеет вид

Для нахождения параметров этого уравнения его необходимо прологарифмировать. В результате получим

Следует помнить, что мы получим не параметр a, а его логарифм, который следует преобразовать в натуральное число. Линейное многофакторное уравнения регрессии имеет вид

, где a, b1, bn параметры; x1, xn экзогенные переменные; y эндогенная переменная.

 

Оптимизация. Основные понятия.

Оптимизация - поиск наилучшего решения с учетом ограничений. Для оптимизации ищется целевая функция. Эта функция конструируется искусственно на основе уравнений, описывающих объект оптимизации. Целевая функция обычно имеет много аргументов: φ=f (х1, х2,..., х n). Чтобы найти оптимальное значение, перебирают значение аргументов хi пошагово до тех пор, пока значение φ станет удовлетворять условиям оптимума. разработаны десятки методов оптимизации:

- первый строгий математический метод предложил в 1840г. венгерский математик Коши - метод скорейшего спуска. При формулировании задач оптимизации обычно стараются ее свести к поиску минимума. МСС относится к классу градиентных методов. Градиент - вектор, указывающий на направление максимального возрастания функции. Антиградиент – на убывания функции. Для иллюстрации поиска экстремума в процессе оптимизации функций двух переменных используют линии равного уровня. Если задаться постоянным значением φ и так подбирать значения хi чтобы значение φ было равным заданному значению, то геометрическое место точек φ составит линию равного уровня. МСС - простейший метод оптимизации, пригодный для сложных систем. Работа метода хорошо иллюстрируется с помощью линий равного уровня. Порядок поиска оптимума: - выбирается исходная точка в виде значений параметров целевой функции: φ=f (х1, х2,..., х n). - ищется градиент; - движемся в направлении антиградиента с заданным шагом; - на каждом шаге проверяем выполнение условия движения, текущее значение φ должно быть меньше предыдущего. - если условие движения нарушается, то процесс останавливается, иначе, движение продолжается; - при нарушении условий движения уточняется одномерный минимум и ищется новый градиент; - условие останова: а) значение φ меньше заданного; б) разность значений соседних φ меньше заданной; в) количество шагов превышает допустимое. - если после останова минимума не удовлетворяет требованиям, то либо ищется другая исходная точка и процесс повторяется, либо выбирается другой метод оптимизации.

 

Одномерный поиск оптимума.

метод скорейшего спуска представляет собой многомерный поиск, т.к. минимум ищется на разных направлениях. Когда минимум ищется только в одном направлении для уточнения направления следующего уровня - одномерный поиск.

Одномерный поиск Для многомерного поиска разработаны десятки методов, для одного поиска около 1 десятка методов. Рассмотрим одномерное приближение. Метод последовательных приближений (р) P - длина шага оптимизации; φ - значение целевой функции 1. при нарушении условий движения (φi+1 > φi) движение останавливается 2. Возвращается на 1 шаг назад. 3. Делим длину шага на R где R = 3-10 4. Возобновляем движение с новым шагом. 5. При нарушении условий движения все повторяется, и т.д. Условия останова: - Значение j < заданного

- Разность между соседними значениями j < заданной - Длина шага < заданной - Кол-во шагов превышает заданное. Любое из этих условий приводит к останову. Метод золотого сечения

Если возьмем пропорцию: x1/x = x2/x1 = 0.618-mo (р) Такое соотношение называется золотой пропорцией. 1. При нарушении условий движения последний шаг делим в отношении золотой пропорции слева на право. 2. Этот же отрезок делим в золотой пропорции справа на лево. В результате получим 2 новые точки

3. Сравниваем значения j в новых точках. 4. Выбираем отрезок, которому соответствует меньшее из этих двух j. 5. Полученный отрезок делим в отношении золотой пропорции слева направо, и т.д. Условия останова те же, что и в предыдущем случае. Метод параболической аппроксимации (р) При нарушении условий значения j в последних 3-х точках подставляется в формулу решения системы 3-х уравнений для параболы. Это решение позволяет находить координаты минимума параболы, роходящий через 3 последние точки. Сравнение методов одномерного поиска МПП более прост (движемся, делим), но требует много шагов (м.б. 10 и 100 шагов). МЗС позволяет найти min за 3-4 шага. МПА более сложен, но позволяет найти min за 1 шаг. Но МПА обладает методической погрешностью, поскольку парабола отличается от истинной кривой; обычно эта погрешность невелика. В пакетах программ для расчета оптики обычно используется в качестве метода многомерного поиска демнорированый МСС, а в качестве метода одномерного поиска - МПА.