Решения задачи оптимального управления при наличии интегральных ограничений.

 

В настоящем разделе рассматривается решение ЗОУ на основе вариационного метода при наличии интегральных ограничений [6]. В этой задаче минимизируется функционал:

 

(1.32)

 

Исходные данные и ограничения имеют следующий вид:

 

; (1.33)

 

; (1.34)

 

; (1.35)

 

Здесь - функция переменных;

- функция переменных;

- вектор-функция переменных.

Ограничение (1.33) называется дифференциальной связью. Четверка называется управляемым процессом, если , , и всюду при выполняется дифференциальная связь (1.33) и допустимым управляемым процессом, если эта четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены ограничения (1.34) и (1.35). Допустимый управляемый процесс называется локальным минимумом в задаче (1.32), если существует такое , что для любого допустимого управляемого процесса , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство .

В приведенной постановке задачи оптимального управления в отличие от рассмотренный ранее присутствуют ограничения (1.35) в виде равенств, называемые изопериметрическими, и ограничения (1.34) в виде неравенств. Форма задания ограничений является достаточно общей и может включать в себя как ограничения на вид траектории движения объекта и управляющего воздействия, представленные функцией , так и краевые условия и , которые можно записать в форме (1.35):

 

;

 

Рассматриваемая задача содержит ограничения в форме (1.33), (1.34), (1.35), и поэтому является задачей на условный экстремум функционала. Для перехода к задаче на безусловный экстремум формируем лагранжиан и новый критерий оптимизации , относительного которого ЗОУ решается как задача на безусловный экстремум.

 

(1.36)

 

 

Необходимые условия для решения поставленной задачи сформулированы в следующей теореме [6].

Теорема 1.5.

Пусть - оптимальный процесс в задаче и при этом функции , , и их частные производные по и непрерывны в некоторой окрестности множества , а , непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (условие гладкости).

Тогда обязательно существуют множители Лагранжа , и не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа и лагранжиана выполняются условия:

а) стационарности по - уравнение Эйлера:

 

; (1.37)

 

б) трансверсальности по :

 

, ; (1.38)

 

в) стационарности по :

 

; (1.39)

 

г) стационарности по :

 

; (1.40)

 

д) дополняющей нежесткости:

 

, ; (1.41)

 

е) неотрицательности:

 

, . (1.42)

 

Доказательство теоремы приведено в [6],[2].

Набор условий теоремы для нахождения оптимального процесса является полным. Для определения неизвестных функций , и имеется система из дифференциальных уравнений из (1.34), (1.37) и (1.40). Выразим через и и получим скалярных дифференциальных уравнений. Решение системы зависит от 2 n произвольных постоянных и еще множители , . Кроме того, решение задачи требует определения и . Следовательно, всего неизвестных . Для их определения имеется 2 условий трансверсальности, условий дополняющей нежесткости и заданных ограничений (1.35) и два условия стационарности по .

Для задач с закрепленными концами и , условия трансверсальности тоже можно написать, если принять , и , , и эти условия можно рассматривать как соотношение (1.35) в постановке задачи оптимизации. В этом случае условия трансверсальности имеют вид [8]:

 

, (1.43)

 

, (1.44)

 

Соотношения (1.43) и (1.44) не содержат граничные условия, и поэтому условия на концах траектории можно использовать при решении оптимизационной задачи самостоятельно.

Пример

Требуется определить оптимальное управление в задаче, имеющей следующие исходные данные:

 

, , ,

Критерий оптимизации

 

Решение

Сделаем замену переменных и , чтобы представить описание объекта в переменных состояния:

 

, , , , .

 

Составим лагранжиан и критерий оптимизации :

 

 

;

 

Запишем необходимые условия экстремума:

а) система уравнений Эйлера для лагранжиана :

 

, , ;

 

б) условия трансверсальности по для терминанта:

 

;

 

, , , ;

 

в) условия стационарности по управлению

 

.

 

Для решения задачи необходимо определить значение . Если принять , то из в) следует, что , тогда из а) имеем и в силу условия б) получаем , т.е. все множители Лагранжа равны нулю, что противоречит условию теоремы о необходимом условии экстремума. Положим . Из системы уравнений Эйлера вытекает, что

 

 

Общее решение этого дифференциального уравнения

 

.

 

Поскольку , то и по условию стационарности по управлению . Тогда дифференциальное уравнение связи и его решение имеет вид:

 

;

 

.

 

Неизвестные константы определяются из заданных условий на концах:

 

; ; ;

 

Следовательно, оптимальная траектория

 

;

 

Подставим в уравнение связи и получим функцию оптимального управления :

 

;

 

Итак, мы нашли оптимальную пару . Можно показать с помощью непосредственной проверки, что найденный экстремум является абсолютным минимумом.

 

 

Глава II. ПРИНЦИП МАКСИМУМА

 

Принцип максимума был разработан академиком Понтрягиным Л.С. и его учениками и впервые опубликован в 1956 году. Открытие этого принципа явилось итогом работ авторов по решению задач оптимального управления в вариационной постановке применительно к реальным объектам управления при ограниченных возможностях управляющих воздействий. Так, при решении задачи Лагранжа рассматриваются только непрерывные управляющие воздействия без ограничений на максимальное и минимальное значение. В практических ситуациях управляющее воздействие всегда ограничено по модулю, а иногда все множество допустимых значений состоит из совокупности точек. Кроме того, известно, что ряд оптимизационных задач имеет решение в виде кусочно-постоянной функции. В разработанном методе в отличие от вариационного метода отсутствует условие непрерывности управляющих воздействий (функции управления ), что являлось обязательным при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа. Множество возможных значений управления считается произвольным топологическим пространством, не обладающим в общем случае линейной структурой, в реализации условий принципа максимума. Отсутствуют требования на существование производных по функций и . Однако при решении задач оптимального управления эта особенность метода восполняется необходимостью решения вспомогательной задачи на максимум по переменной (принцип максимума). Таким образом, принцип максимума обладает более широкими возможностями для решения практических задач и для многих частых постановок позволяет получить простые соотношения для определения оптимального решения. Тем не менее следует заметить, что несмотря на новые возможности, которые открывает принцип в общем случае, процесс решения каждой задачи является самостоятельной творческой проблемой, решаемой в рамках той отрасли динамики, к которой относится объект управления.