Занятие №2. Комплексные числа (продолжение)

 

 

Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне умения решать типовые задачи.

 

Учебные вопросы

 

1. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной.

2. Действия над комплексными числами в показательной форме.

3. Применение комплексных чисел при решении различных задач.

 

Ход занятия

 

Задача 1. Представить в показательной форме комплексные числа:

Решение. Используем формулу (7) записи комплексного числа в показательной форме и формулы (8) перевода чисел из одной формы записи в другую.

Из (7) следует, что нужно определить модуль комплексного числа и аргумент комплексного числа .

1) Так как , то , значит

, т.к. .

Таким образом, .

Аналогично определяется показательная форма записи для чисел :

2) .

3) .

4) .

Задача 2. Представить в алгебраической форме комплексные числа:

.

Решение. Так как показательная и тригонометрическая формы записи используют одни и те же параметры , то, зная показательную форму, легко представить тригонометрическую форму комплексного числа, затем, вычислив значения тригонометрических функций, получаем алгебраическую форму.

1) или по формулам (8):

;

.

.

По образцу задачи 2(1) получаем результаты во втором и третьем пунктах.

Задача 3. Даны два комплексных числа . Вычислить: 1) .

Решение. Для выполнения действий над комплексными числами в показательной форме используем формулы (13-15):

1) ;

2)

3) .

Задача 4. Представив комплексные числа в показательной форме, вычислить: .

Указание. Задача решается по образцу задач 1, 3.

Задача 5. Комплексное напряжение и ток пассивного двухполюсника равны: вольт и ампер. Вычислить комплексное сопротивление .

Решение. Запишем комплексное напряжение и ток в показательной форме:

(вольт);

(ампер).

Комплексное сопротивление определяем по формуле: ,

(ом).

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 6. Представив комплексные числа ; в показательной форме, выполнить действия: 1) .

 

Задача 7. Представить комплексные числа в алгебраической форме записи.

 

Задача 8. Следующие комплексные числа изобразить на комплексной плоскости, записать в тригонометрической и показательной формах. Выполнить действия над числами в показательной форме: .

ТЕМА 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Введение

 

 

В теме «Неопределенный интеграл» рассматривается задача, обратная задаче о дифференцировании функций.

Задача состоит в следующем: дана функция , являющаяся производной некоторой функции ; требуется найти функцию .

К такой математической задаче приводят многие физические, химические и другие задачи, например, задача об отыскании закона равномерного движения материальной точки вдоль прямой по заданной скорости, задача о нахождении закона химической реакции по известной её скорости.

Особое значение эта тема имеет при решении дифференциальных уравнений, описывающих различные физические и механические процессы.

Для успешного усвоения навыков интегрирования надо, прежде всего, выучить наизусть таблицу интегралов и свойства интегралов.