Занятие №2. Производная сложной функции

 

 

Цель занятия: усвоить основные формулы таблицы производных на уровне знаний.

 

Учебные вопросы

 

1. Производная функции сложного аргумента.

 

Ход занятия

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

Задача 1. .

Решение. Заданная функция представляет собой многочлен. Применяя формулы (1, 2, 3, 6) из таблицы, найдем :

 

Задача 2. .

Решение. Обозначим , тогда . Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу , имеем:

 

Задача 3. .

Решение. Запишем данную функцию в виде . Обозначим: , тогда ,

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 4. .

 

Задача 5. .

 

Задача 6. .

Решение. Полагая и применяя формулы (7, 9), будем иметь:

.

 

Задача 7. .

 

Задача 8. .

 

Задача 9. .

 

Задача 10. .

 

Задача 11. .

 

Разобрать решение задач:

Задача 12. .

Решение. Производную функций данного типа можно найти двумя способами:

1) применяем формулу . Здесь роль v выполняет .

.

2) перепишем заданную функцию в виде: . Применяем формулу , где . Имеем:

.

 

Задача 13. .

Решение. Пользуемся формулой . Обозначим ; .

.

Указание. .

 

Задача 14. .

Решение. Воспользуемся формулой , где , , тогда

.

Задача 15. Решить самостоятельно: .

Указание. Производную данной функции можно найти, пользуясь формулами или .

 

Найти производные от функций:

Задача 16. .

 

Задача 17. .

 

Задача 18. .

 

Задача 19. .

 

Задача 20. .

 

Задача 21. .

 

Задача 22. .

 

Задача 23. .

 

Задача 24. .

 

Задача 25. .

 

Задача 26. .

 

Задача 27. .

 

 

Занятие №3. Производная сложной функции (продолжение)

 

 

Цель занятия: закрепить знание таблицы производных и умение применять ее формулы при решении типовых задач.

Учебные вопросы

 

1. Производная сложной функции.

2. Вычисление производной функции в данной точке.

 

Ход занятия

 

Применяя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

Задача 1. .

 

Задача 2. .

Решение. Обозначим , тогда . Воспользуемся формулой .

.

 

Задача 3. .

 

Задача 4. .

 

Задача 5. .

Решение. Обозначим , тогда . Воспользуемся формулой .

.

Задача 6. .

Решение. Обозначим , тогда . Воспользуемся формулой .

.

 

Задача 7. .

 

Вычисление производной функции в данной точке

 

Задача 8. . Найти .

Решение. 1. Найдем производную заданной функции, пользуясь формулой . Обозначая , имеем

.

2. Для вычисления достаточно в выражении переменной t дать значение 0, т.е. вычислить при .

.

 

Задача 9. . Найти .

 

Задача 10. . Найти .

Решение. 1. Найдем , применяя формулу . Обозначим , тогда

.

2. .

 

Задача 11. . Найти .

 

Задание для самостоятельной работы

 

Найти производные функций:

Задача 12. .

 

Задача 13. .

 

Задача 14. .

 

Задача 15. .

 

Задача 16. .

 

Задача 17. .

 

Задача 18. .

 

Задача 19. .

 

Задача 20. .

 

Задача 21. .

 

Задача 22. .

 

Задача 23. .

 

Задача 24. .

 

Задача 25. .

 

Задача 26. . Найти .

 

Задача 27. Дополнительная задача. Найти угол, под которым пересекаются параболы и .

 

Найти производные функций:

Задача 28. .

 

Задача 29. .

 

Задача 30. Найти значения производной функции в точках .