Простейшие свойства вероятности

1. .

Доказательство. Пространство элементарных событий можно представить в виде , – подмножество, – дополнение к до . Они несовместны.

Следовательно, . Так как и неотрицательны, то .

2. .

Доказательство. Так как Æ , , то . Следовательно, .

3. Если , то (монотонность вероятности). Доказательство.Событие представим в виде . По построению Æ, т.е.события и не совместны, тогда .

4. для любых , . Доказательство. Событие представим в виде , из аксиомы 3 и получаем, что .

Так как , то и тогда

.

5. , так как .

6. Определение. События в опыте образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в результате опыта произойдет одно и только одно из событий , то есть .

Теорема. Если , образуют полную группу событий, то

Доказательство.Так как и события образуют полную группу событий, то

.

7. Теорема.

Доказательство. По определению , то есть и – полная группа событий. Следовательно, и , тогда по аксиоме 3 , откуда .

8. Определение. Если опыт имеет конечное число возможных исходов , где элементарные события, образующие полную группу попарно несовместных событий и появление которых равновероятно, то есть , то такие события называют случайными и говорят, что опыт сводится к схеме случаев.

Теорема. Если опыт сводится к схеме случаев, то .

Доказательство. Элементарные события попарно несовместны, тогда .

Отсюда следует, что .

9. Определение. Если в опыте произвольное событие можно представить в виде суммы несовместных случаев, то есть , при , то слагаемые называют благоприятствующими событию случаями.

Теорема. Если событие представимо в виде суммы благоприятствующих случаев из возможных, то вероятность такого события равна :

.

Определение. Формулу называют классической формулой вычисления вероятности.

Геометрические» вероятности

Рассмотрим «геометрические» вероятности: это пример опыта с непрерывным пространством элементарных событий. В случае опыта с равновероятными исходами вероятность определяется как «доля» тех исходов, которые приводят к наступлению события . Аналогично считают , если имеется бесконечное число равновероятных исходов:

,

где – мера тех исходов, которые приводят к наступлению ;

– мера бесконечного числа исходов.

Для отрезка – это длина отрезка, для плоскости – площадь фигуры, для тела – объем тела.

1.3.5. Условная вероятность.
Зависимые и независимые события

Определение. Условной вероятностью события относительно события называется вероятность осуществления события при условии, что событие уже произошло.

По определению .

Рассмотрим формулу для опыта, сводящегося к схеме случаев:

Пусть событиям , и благоприятствуют случаев соответственно из всех возможных и равновозможных случаев. Допустим, что событие уже произошло. Это значит, что из всех возможных случаев реально могут появиться только , причем из них только случаев благоприятствуют событию . Применяя классическое определение вероятности, получим

.

Теорема. .

Доказательство. Так как

, то .

Учитывая, что (свойство умножения событий), получим .

Следствие. .

Определение. События и называются независимыми, если , то есть, – условная вероятность события равна безусловной вероятности.

Определение. Формула называется правилом умножения вероятностей.

Теорема. В определении условной вероятности мы требовали, чтобы , но в некоторых случаях такое ограничение представляется ненужным.

Пусть , тогда равенство выполняется автоматически.

Доказательство. Представим событие в виде , тогда . Так как , то . Но так как и , то и .

Так как , то . Это значит, что если не зависит от , то и не зависит от .

Теорема. Если события и независимы, то независимы также и события и .

Доказательство. Так как и независимы, то , тогда и из того, что , следует, что , , а это значит, что и независимы.

Теорема. Если и независимы, то и независимы и .

Доказать самостоятельно.

Определение. События называются независимыми (в совокупности), если вероятность появления любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из этой же совокупности.

Определение. Если любые два события из независимы, то называются попарно независимыми.

Теорема. Если события независимы, то вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Если события независимы, то , и так далее. Тогда .

Последнее равенство является необходимым и достаточным условием независимости событий.

Замечание. На практике правило умножения вероятностей применяется вместе с правилом сложения вероятностей.

Формула полной вероятности

Определение. Предположим, что событие в опыте может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Условимся называть эти события (по отношению к ) гипотезами.

Теорема. Пусть с опытом связаны гипотезы , тогда вероятность события равна сумме парных произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события , вычисленные при условии, что гипотеза происходит:

.

Доказательство. По условию событие может произойти только вместе с одной из гипотез: , так как попарно несовместны, то и события попарно несовместны, следовательно, по аксиоме 3 из определения вероятности события и по теореме о вероятности произведения событий получаем

.

Данная формула используется в опытах, не сводящихся к схеме случаев.

Формулы Байеса

Теорема. Пусть с опытом связаны гипотезы , при проведении опыта произошло событие , . До опыта были известны вероятности гипотез и соответствующие условные вероятности . В этом случае условная вероятность гипотезы при условии, что событие произошло, вычисляется по формуле:

.

Доказательство. и .

Так как , то .

Откуда

.

Замечание. Формулы Байеса предназначены для вычисления после проведения опыта вероятностей гипотез при условии, что событие уже произошло.

Решение типовых задач

Пример 1. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что, среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Решение. Событие – среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

Воспользуемся формулой .

Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. . Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно числу таких комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут составлять сочетания, число которых равно . Тогда искомая вероятность будет равна

Пример 2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две ока­жутся акциями банкротов?

Решение.Событие – среди купленных акций две ока­жутся акциями банкротов.

Воспользуемся формулой .

Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний из 20 по 6, т.е. . Число благоприятствующих исходов определяется как произве­дение , где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора АО-банкротов из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Число комбинаций таких АО будет . Тогда искомая вероятность будет равна

, т.е. .

Пример 3. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три – по математическому анализу и четыре – по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Ка­кова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероят­ностей или по линейной алгебре?

Решение. Событие – студент взял книгу по теории вероятностей,

событие – студент взял книгу по линейной алгебре.

Вероятности того, что студент взял книгу по теории вероятностей и по линейной алгебре соответственно таковы:

, .

События и несовместны. Поэтому искомая вероятность находится как сумма вероятностей:

.

Пример 4. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту из­делий равна 0,9.

Какова вероятность того, что из двух проверенных изде­лий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы? Какова вероятность того, что из двух проверенных изде­лий только одно стандартное?

Решение: а) учитывая то, что события (первое изделие стандартное) и (второе изделие стандартное) независимы, используем формулу

, т.е. ;

б) пусть – событие, состоящее в том, что только первое изделие стандарт­ное; – только второе изделие стандартное. Событие можно рассматривать как произведение двух событий , т.е. появилось первое событие и не появилось второе.

Аналогично . События и несовместные, поэтому

.

Если обозначить вероятность появления стандартного изделия через , а вероятность противоположного события через , то получим

.

В данном случае

.

Пример 5. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобра­ны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

Решение. Пусть – событие, состоящее в том, что в первом выбранном поселке находится пункт проката; – событие, состоящее в том, что во втором выбранном поселке находится пункт проката.

Вероятность события

.

Рассмотрим событие при условии, что событие произошло. Найдем условную вероятность

.

Искомая вероятность найдется как вероятность произведения зависимых двух событий

.

Пример 6. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безот­казной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на пер­вом заводе, на втором заводе?

Решение. Обозначим через , , события установки на автомашину дви­гателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

; ; ;

а) вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:

б) если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности того, что оно изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:

;

.

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. Некто, набирая номер телефона, забыл две последние цифры номера телефона абонента, но помнит, что последняя цифра меньше предпоследней. Какова вероятность того, что при однократном пользовании телефоном-автоматом, некто наберет нужный номер телефона.

2. Для студенческой лотереи были пронумерованы 500 билетов номерами от 1 до 500. Организаторы лотереи сделали ее беспроигрышной. Все выигрыши разделили на три вида: а) «самый большой выигрыш» – том стихов Пушкина – приходится на билеты, номера которых содержат три одинаковых цифры; б) «средний выигрыш» – набор фломастеров – приходится на билеты, номера которых содержат две одинаковых цифры. Определить вероятность того, что: а) взятый наудачу билет окажется выигрышным; б) на взятый билет выиграют «средний выигрыш»; в) на взятый билет выиграют «большой выигрыш».

3. Имеются 50 экзаменационных билетов, каждый из кото­рых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 100 вопросов, а только на 60. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса из своего билета, или на один вопрос из своего билета, или на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

4. При стрельбе была получена частота попадания 0,6. Сколько было сделано выстрелов, если получено 12 промахов?

5. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «ДВА»?

6. В коробке 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два окажутся черными?

7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошло 4 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что 1) все пассажиры выйдут на четвертом этаже; 2) все пассажиры выйдут одновременно; 3) все пассажиры выйдут на разных этажах.

8. Стержень длины сломали на три части, выбирая наудачу места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.

9. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

10. Считается равновероятным попадание снаряда в любую точку площади в 10000 . Определить вероятность попадания снаряда в мост, находящийся на этой площади, если длина 200 м и ширина 10 м.

11. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что попадание точки на плоскость большого круга равновозможно для любой части его.

12. Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро была бы ?

13. Общество из человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

14. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,7, для второго – 0,8. Какова вероятность попадания в волка (хотя бы при одном выстреле)? Как изменится результат, если охотники сделают по два выстрела?

15. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия.

16. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность то­го, что среди отобранных деталей две окажутся бракован­ными?

17. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) от­лично; б) плохо.

18. В продажу поступили 1000 пальто с трех фабрик. С первой фабрики поступили 300 пальто, среди них 10 второсортных, со второй фабрики поступили 450 пальто, среди них 12 второсортных. С третьей фабрики поступили 250 пальто, среди них 8 второсортных. Покупателю подали для примерки пальто первого сорта. На какой фабрике вероятнее всего пошито это пальто?

19. Вероятность появления брака на первом станке равна 0,02, на втором – 0,01 и на третьем – 0,03. Производительность первого станка вдвое больше третьего, а производительность второго станка в 4 раза больше производительности первого станка. Детали, изготовленные на трех станках, хранятся на одном складе. Кладовщик взял наудачу одну деталь, она оказалась стандартной. На каком из станков вероятнее всего была изготовлена эта деталь.

20. Некоторый механизм состоит из 3 деталей типа А, пяти деталей типа Б, двух деталей типа В, шести деталей типа Г и четырех деталей типа Д. Вероятность повреждения детали тапа А равна 0,02, типа Б – 0,05, типа В – 0,10, типа Г – 0,03, типа Д – 0,09. Механизм вышел из строя. Какого типа деталь вероятнее всего повреждена?

21. В первой коробке 35 радиоламп, среди них 4 нестандартных. Во второй коробке 20 радиоламп, среди них 1 нестандартная. В третьей коробке 45 радиоламп, среди них 5 нестандартных. Из третьей коробки взяли наудачу 1 радиолампу и переложили во вторую коробку. Затем из второй коробки была наудачу взята радиолампа и переложена в первую коробку. После этого из первой коробки наудачу извлекли радиолампу. Какова вероятность того, что эта лампа стандартная?

22. В порт приходят корабли только из трех пунктов от­правления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта – 0,6. Найти вероятность при­бытия корабля из третьего пункта.

23. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

24. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки , 6 марки и 4 марки . Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент деталей отличного качества выпускает цех в целом?

25. Имеются два ящика: в первом 3 белых шара и 2 черных; во втором 4 белых и 4 черных. Из первого ящика во второй перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второго ящика берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

26. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.

27. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный? Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

1.6. Индивидуальные домашние задания
по теме «Случайные события»

Вариант 1

1. Из полного набора костей берут наугад 5 костей домино. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одна будет с шестёркой.

2. В партии из 15 деталей имебтся 10 стандартных. Наудачу отобраны 7 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей 5 стандартных.

3. Буквы, составляющие слово «Одесса» написаны по одной на 6 карточках. Карточки смешиваются. Затем по одной вынимаются 3 карточки. Определить вероятность того, что, записывая подряд слева направо, получим слово «сад».

4. У рыбака есть 3 излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он ловит на первом месте, рыба клюёт с вероятностью 0,3; на втором – 0,4; на третьем – 0,3. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю, три раза закинул удочку, а рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

5. Электролампы изготовляются на трёх заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трёх заводов. Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется стандартной.

6. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первым стрелком равна 0,9; а вторым – 0,8. Найти вероятность того, что мишень поразит только один стрелок.

7. Четыре пловца взяли старт на соревнованиях по плаванию. Вероятность уложиться в рекордное время у первого пловца равна 0,95, у второго – 0,92, у третьего – 0,9 и у четвертого – 0,88. Найти вероятности того, что а) все пловцы станут рекордсменами; б) только два пловца станут рекордсменами.

Вариант 2

1. В студенческой группе 10 дружинников. Среди них трое в возрасте 18–19 лет, пятеро – от 20 до 22 лет, двое – от 23 до 24. Путём жеребьёвки из дружинников должен быть выбран один человек на дежурство. Какова вероятность того, что его возраст окажется от 18 до 22 лет.

2. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,3, второго – 0,1. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадает в цель, другой не попадает?

3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик наудачу взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что один из взятых валиков конусный, а второй эллиптический с точностью до 0,01.

4. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовились отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. Всего 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на 20 вопросов, хорошо – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наудачу студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

5. Стрельба производится по 5 мишеням типа А, по 3 типа В, по 2 типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; В – 0,1; С – 0,15. Найти вероятность поражения мишени.

6. Из полной колоды карт (52) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей.

7. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,2, а вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

Вариант 3

1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадает чётное число очков.

2. В партии готовой продукции из 20 лампочек 5 повышенного качества. В выборку берут 7 лампочек. Какова вероятность того, что 3 лампочки в выборке будут повышенного качества?

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго эта вероятность равна 0,8 (с точностью до 0,1).

4. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями =0,25, =0,5, =0,25. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, равна для этих партий соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы в течение часа первого элемента равна 0,95, второго – 0,98 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, сто в течение часа будут работать: а) два элемента; б) один элемент; в) все три элемента.

6. Из колоды карт 36 вынимаются сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей.

7. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

Вариант 4

1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадает нечётное число очков.

2. В партии готовой продукции из 30 лампочек 5 повышенного качества. В выборку берут 8 лампочек. Какова вероятность того, что 3 лампочки в выборке будут повышенного качества?

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном залпе первым из орудий, если известно, что для 2-го орудия эта вероятность = 0,7 (с точностью до 0,1).

4. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями =0,25, =0,5, =0,25. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, равна для этих партий соответственно 0,3; 0,4; 0,6. Определить вероятнос