На тему «нахождение значения многочлена по схеме Горнера»

Курсовая работа

На тему «Нахождение значения многочлена по схеме Горнера»

 

 

Исполнитель

Студент группы ЭМА-10 Каргаполов А.В.

Руководитель Миронова Л.И.

 

 

Екатеринбург

 

Введение.. 4

1. Схема Горнера.. 5

1.1 Теоретическое описание схемы Горнера. 5

1.2 Пошаговый алгоритм нахождение значение многочлена по схеме Горнера. 7

1.3 Код программы, реализующей схему Горнера. 7

1.4 Описание контрольного примера. 8

1.5 Скриншот решения контрольного примера. 9

1.6 Описание примера №2. 10

1.7 Скриншот примера №2. 10

2. Презентационные материалы по методу «Схема Горнера». 11

3. Вычислительный практикум... 15

3.1 Отделение изолированных корней уравнения с помощью компьютерной программы 15

3.1.1 Пример №1. 15

3.1.2 Пример №2. 16

3.2 Уточнение корней с заданной точностью методом дихотомии. 17

3.2.1 Пример №1. 17

3.2.2 Пример №2. 18

3.3 Уточнение корней с заданной точностью методом хорд. 20

3.3.1 Пример №1. 20

3.3.2 Пример №2. 21

3.4 Уточнение корней с заданной точностью объединенным методом.. 23

3.4.1 Пример №1. 23

3.4.2 Пример №2. 24

3.5 Уточнение значения изолированного корня методом касательных. 26

3.5.1 Пример №1. 26

3.5.2 Пример №2. 27

3.6 Уточнение значения изолированного корня методом простых итераций. 29

3.6.1 Пример №1. 29

3.6.2 Пример №2. 30

3.7 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 32

3.7.1 Пример №1. 32

3.8 Обращение матриц методом Гаусса. 33

3.8.1 Пример №1. 33

3.8.2 Пример №2. 34

3.9 Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. 35

3.9.1 Пример №1. 35

3.9.2 Пример №2. 36

3.10 Интерполирование функций. 37

3.10.1 Пример №1. 37

3.11 Численное интегрирование. 38

3.11.1 Формула левых прямоугольников. 38

Пример №1. 38

3.11.2 Формула правых прямоугольников. 39

Пример №1. 39

3.11.3 Формула средних прямоугольников. 40

Пример №1. 40

3.11.4 Формула трапеций. 41

Пример №1. 41

Заключение.. 42

Список литературы... 43

Введение
1. Схема Горнера

Теоретическое описание схемы Горнера

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида . Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера.

Пусть задан многочлен:

.

Пусть требуется вычислить значение данного многочлена при фиксированном значении . Представим многочлен в следующем виде:

.

Определим следующую последовательность:

…

…

Искомое значение Р(x₀)=b₀ . Покажем, что это так.

В полученную форму записи Р(x₀) подставим х=x₀ и будем вычислять значение выражения, начиная со внутренних скобок. Для этого будем заменять подвыражения через :

Begin

{Вводим степень многочлена и значение х0}

writeln('введите степень многочлена');

readln(n);

writeln('введите аргумент');

readln(x0);

{Цикл заполнения массива}

For i:=1 to n+1 do begin

writeln('введите коэффициент при степени ',n+1-i);

readln(a[i]);

b[i]:=a[i];

end;

b[1]:=a[1];

{считаем значения b[i]}

for i:=2 to n+1 do begin

b[i]:=a[i]+b[i-1]*x0;

end;

{вывод ответов}

For i:=1 to n+1 do begin

writeln;

writeln('степень: ',n+1-i);

writeln('коэффициент при степени ',n+1-i,' = ',a[i]);

writeln('элемент последовательности = ',b[i]);

end;

 

{вывод итогового ответа}

writeln;

writeln('Ответ = ',b[n+1]);

end.

1.4 Описание контрольного примера

Найти значение многочлена по схеме Горнера в заданной точке х=х₀:

Ответ:

1.5 Скриншот решения контрольного примера

 

1.6 Описание примера №2

Найти значение выражения по схеме Горнера:

,

при заданном многочлене:

1.7 Скриншот примера №2

 

 

Вычислительный практикум

Вариант 14

Пример №1

Отделить изолированные корни следующего уравнения с помощью компьютерной программы:

Найдем ООФ: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля 0.

Отсюда ООФ: любые числа строго большие -1.75.

Примем интервал [-1.75;150]; подставим значения в программу:

 

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

 

Ответ: на интервале [-1.75;150] содержится 2 корней, на интервалах:

Пример №2

Отделить изолированные корни следующего уравнения с помощью компьютерной программы на интервале [-10;10]:

Подставим имеющиеся данные в программу:

Рис. 3. Скриншот решения примера №2

 

Ответ: на интервале [-10;10] содержится 8 корней, на интервалах:

 

 

Пример №1

Решить следующее уравнение методом дихотомии:

Рис. 1. Графики функций -0,5^x и х²-3

Исходя из графиков, интервалы будут: [-2;0] и [0;2]. Подставим данные в программу:

Рис. 2. Скриншоты решения примера №1

Ответ: уравнение имеет 2 корня на интервалах:

Пример №2

Решить следующее уравнение методом дихотомии:

Рис. 3 Графики функций x² и 1/2^x

Интервалы с корнями будут: [-3;-1] и [0;2]. Подставим полученные данные в программу:

Рис. 4. Скриншот решения примера №2

Ответ: уравнение имеет 2 корня на интервалах:

 

Пример №1

Для уравнения уточнить значение корня методом хорд.

Производная равна:

Решим квадратное уравнение:

Корни уравнения: x₁=0; x₂= -0.5; x₃= 0.5;

-∞	-0.5		0.5	∞
+	-	-	-	+

 

Сузим интервалы:

-2	-0.5	0.5
+	-	-	+

 

Интервалы будут следующими: [-2;-0,5] и [0,5;2]. Подставим данные в программу:

Рис. 1. Скриншоты решения примера №1

Ответ: на полученных интевалах для уравнения содержится 2 корня:

Пример №2

Для уравнения уточнить значение корня методом хорд.

Производная равна:

Решим квадратное уравнение:

Корни этого квадратного уравнения: x₁=0; x₂= -4; x₃= 1.

-∞	-4			∞
+	-	-	-	+

 

Сузим интервалы:

-6	-4
+	-	-	+

 

Интервалы будут следующими: [-6;-4] и [1,4]. Подставим данные в программу:

 

Рис. 2. Скриншоты решения примера №2

Ответ: на полученных интевалах для уравнения содержится 2 корня:

Пример №1

Решить уравнение объединенным методом

Рис. 1. Графики функций 0.5^x-3 = (х+2)²

Интервал для нахождения корней: [-2;1]. Подставим полученные значения в программу:

Рис. 2. Скриншот решения примера №1

Ответ: на интервале [-2;1] уравнение имеет корень х₁ = -1.644

Пример №2

Решить уравнение объединенным методом

Рис. 3 Графики функций x²– 3 и -0.5^x

Выделим 2 интервала, содержащих корни: [-2;0] и [0;2]. Подставим полученные значения в программу:

Рис. 4. Скриншот решения примера №2

Ответ: на интервале [-2;0] уравнение имеет корень х₁ = -0.999; интервале [0;2] уравнение имеет корень х₂ = 1.637

 

Пример №1

Для уравнения уточнить значение корня методом касательных.

Производная равна:

Решим квадратное уравнение:

Корни этого квадратного уравнения: x₁=0; x₂= -4; x₃= 1.

-∞	-4			∞
+	-	-	-	+

 

Сузим интервалы:

-6	-4
+	-	-	+

 

Интервалы будут следующими: [-6;-4] и [1,4]. Подставим данные в программу:

Рис. 1. Скриншоты решения примера №1

Ответ: на полученных интевалах для уравнения содержится 2 корня:

Пример №2

Для уравнения уточнить значение корня методом касательных.

Производная равна:

Решим квадратное уравнение:

Корни уравнения: x₁=0; x₂= -0.5; x₃= 0.5;

-∞	-0.5		0.5	∞
+	-	-	-	+

 

Сузим интервалы:

-2	-0.5	0.5
+	-	-	+

 

Интервалы будут следующими: [-2;-0,5] и [0,5;2]. Подставим данные в программу:

Рис. 2. Скриншоты решения примера №2

Ответ: на полученных интевалах для уравнения содержится 2 корня:

 

Пример №1

Решить следующее уравнение методом простых итераций:

Построим графики функций и отделим интервалы с корнями:

Рис. 1. Графики функций (х-1)² и е^х/2

Как видно из графиков, интервал, содержащий корень, только один: [0;2]. Подставим полученные данные в программу:

 

Рис. 2. Скриншот решения примера №1

Ответ: на интервале [0;2] уравнение имеет корень х = 0.231;

Пример №2

Решить следующее уравнение методом простых итераций (при х>0):

Построим графики функций и отделим интервалы с корнями:

Рис. 3. Графики функций sin(0.5x)+1 и x²

Как видно из графиков, 2 интервала, содержащих корень: [-1;-0.5] и [1;1.5]. По условию необходимо взять х>0 => берем интервал [1;1.5]. Подставим значения в программу:

 

Рис. 4. Скриншот решения примера №2

Ответ: на интервале [1;1.5] корень уравнения х = 1.260

Пример №1

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Подставим коэффициенты при неизвестных и свободные члены в программу:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: невязки уравнений близки по значению к 0, корни данной СЛУ равны:

 

Пример №1

Найти для заданной матрицы обратную методом Гаусса:

Подставим элементы матрицы в программу:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: для заданной матрицы получена обратная, проверка перемножением дала единичную матрицу. Полученная обратная матрица:

Пример №2

Найти для заданной матрицы обратную методом Гаусса:

Подставим элементы матрицы в программу:

Рис. 2. Скриншот решения примера №2

Ответ: для заданной матрицы получена обратная, проверка перемножением дала единичную матрицу. Полученная обратная матрица:

Пример №1

Решить систему линейных уравнений методом простых итераций:

Подставим коэффициенты в программу:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: решения данной СЛУ найдены на 27 шаге итерации, полученные значения корней равны:

 

Пример №2

Решить систему линейных уравнений методом простых итераций:

Подставим коэффициенты в программу:

Рис. 2. Скриншот решения примера №2

Ответ: решения данной СЛУ найдены на 27 шаге итерации, полученные значения корней равны:

Интерполирование функций

Пример №1

Построить интерполяционный полином Лагранжа и вычислить с помощью него приближенное значение функции:

Х	0,43	0,48	0,55	0,62	0,70	0,75
У	1,63597	1,73234	1,87686	2,03345	2,22846	2,35973

Вычислите значение функции у(х), при х = 0,445; 0,639; 0,702.

Подставим данные в программу:

 

Рис. 1. Скриншоты решений примера №1

Ответ: y(0.445) = 1.664; y(0.639) = 2.078; y(0.702) = 2.234

Численное интегрирование

Пример №1

Численно проинтегрировать выражение при помощи формулы левых прямоугольников:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: значение данного интеграла численно равно 0.447

 

Пример №1

Численно проинтегрировать выражение при помощи формулы правых прямоугольников:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: значение данного интеграла численно равно 0.349

Пример №1

Численно проинтегрировать выражение при помощи формулы средних прямоугольников:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: значение данного интеграла численно равно 0.117

 

Формула трапеций

Пример №1

Численно проинтегрировать выражение при помощи формулы трапеций:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: значение данного интеграла численно равно 0.571

 

Заключение

Курсовая работа

на тему «Нахождение значения многочлена по схеме Горнера»

 

 

Исполнитель

Студент группы ЭМА-10 Каргаполов А.В.

Руководитель Миронова Л.И.

 

 

Екатеринбург

 

Введение.. 4

1. Схема Горнера.. 5

1.1 Теоретическое описание схемы Горнера. 5

1.2 Пошаговый алгоритм нахождение значение многочлена по схеме Горнера. 7

1.3 Код программы, реализующей схему Горнера. 7

1.4 Описание контрольного примера. 8

1.5 Скриншот решения контрольного примера. 9

1.6 Описание примера №2. 10

1.7 Скриншот примера №2. 10

2. Презентационные материалы по методу «Схема Горнера». 11

3. Вычислительный практикум... 15

3.1 Отделение изолированных корней уравнения с помощью компьютерной программы 15

3.1.1 Пример №1. 15

3.1.2 Пример №2. 16

3.2 Уточнение корней с заданной точностью методом дихотомии. 17

3.2.1 Пример №1. 17

3.2.2 Пример №2. 18

3.3 Уточнение корней с заданной точностью методом хорд. 20

3.3.1 Пример №1. 20

3.3.2 Пример №2. 21

3.4 Уточнение корней с заданной точностью объединенным методом.. 23

3.4.1 Пример №1. 23

3.4.2 Пример №2. 24

3.5 Уточнение значения изолированного корня методом касательных. 26

3.5.1 Пример №1. 26

3.5.2 Пример №2. 27

3.6 Уточнение значения изолированного корня методом простых итераций. 29

3.6.1 Пример №1. 29

3.6.2 Пример №2. 30

3.7 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 32

3.7.1 Пример №1. 32

3.8 Обращение матриц методом Гаусса. 33

3.8.1 Пример №1. 33

3.8.2 Пример №2. 34

3.9 Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. 35

3.9.1 Пример №1. 35

3.9.2 Пример №2. 36

3.10 Интерполирование функций. 37

3.10.1 Пример №1. 37

3.11 Численное интегрирование. 38

3.11.1 Формула левых прямоугольников. 38

Пример №1. 38

3.11.2 Формула правых прямоугольников. 39

Пример №1. 39

3.11.3 Формула средних прямоугольников. 40

Пример №1. 40

3.11.4 Формула трапеций. 41

Пример №1. 41

Заключение.. 42

Список литературы... 43

Введение
1. Схема Горнера